连续介质力学/坐标

坐标系

1. 坐标系是从流形到欧几里得空间区域的映射。在映射中，我们理解双射光滑函数，即微分同胚。
2. 雅可比行列式始终不等于零。
3. 坐标曲线
4. 流形上曲线坐标的示例：二维平面上的极坐标，三维空间上的球坐标，二维球面上的立体投影；环形？椭圆形？双曲形？；笛卡尔坐标。
5. 令 $x,y,z$ 始终是笛卡尔坐标系中点的坐标，而 $x^{1},x^{2},x^{3}$ - 是任意曲线坐标系中点的坐标（可以是除 $x$ 之外的任何字母）。

拉格朗日描述

运动定律

1. 点的运动定律
2. 连续体的运动
3. 连续体点的个性化
4. 连续体的运动定律
5. 拉格朗日变量

描述运动定律的函数性质

1. 连续性
2. 示例：水雾（不连续性）
3. 双射性；雅可比行列式
4. 同胚的共同性质

再次讨论坐标系

1. 观察者参考系
2. 伽利略相对性原理
3. 与连续体相关的参考系
4. 拉格朗日描述的本质

固定空间坐标

固定空间坐标基于某个固定参考系，比如你所在的建筑物。我们使用 x、y、z 来表示固定空间坐标。

材料坐标

使用材料坐标，在时间 0 (t=0) 选择一个特定的参考状态。材料中的每个点都分配一个标签，该标签是它在 t=0 时的位置。我们使用 X、Y、Z 来表示材料坐标。

例如，假设 g(X,Y,Z,t) 告诉你材料坐标系中物体的温度。g(2,3,1,5) 将是在 t=5 时标记为 (2,3,1) 的粒子的温度，这意味着在 t=0 时，该粒子在固定空间坐标系中的位置为 (2,3,1)。

材料导数示例：沿一维流体的热量定义为 f(x,t)。f 是固定空间坐标的函数，如小写字母 x 所示。

让我们考虑一下 g(X,t) 如果它也是对同一流体温度的描述，但在材料坐标系中，如大写字母 X 所示。

g(X, t) = f(x, t)

为了使该方程有意义，我们需要描述 x 和 X 之间的关系。考虑 x 是 X 和 t 的函数，它是标签为 X 的粒子的位置在特定时间 t。

x(X,t)

请注意，x 取决于时间 t。

温度的材料导数是对标签为 X 的特定粒子温度变化的描述（粒子随着时间的推移而移动）。我们要对 g(X,t) 关于 t 求偏导数。

考虑到 x 取决于 t，并使用链式法则，df/dt = df/dx dx/dt + df/dt dt/dt = df/dx dx/dt + df/dt