微分流形/德拉姆上同调

命题（微分流形的微分形式和卡坦导数构成一个上链复形）:

设 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的微分流形。那么该图

$0\longrightarrow \Omega ^{0}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{1}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{2}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\cdots$

构成在 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 上的一个链复形，其中 $d$ 表示卡坦导数。

证明：这直接从 对卡坦导数进行两次运算始终得到零这一事实得出。 $\Box$

定义（德拉姆上同调）:

设 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的微分流形。从链复形

$0\longrightarrow \Omega ^{0}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{1}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{2}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\cdots$

产生的上同调被称为德拉姆上同调。该上同调的第 $k$ 个 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 模通常记为 $H_{\text{dR}}^{k}(M)$。