可微流形/形式积分

定理（斯托克斯定理）:

设 $M$ 是一个定向的 $n$ 维光滑流形，带有边界，并设 $\omega \in \Omega _{c}^{n-1}(M)$。那么

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega$,

其中 $\partial M$ 具有从 $M$ 继承的定向。

证明: 我们首先证明 $M=\mathbb {R} ^{n}$ 或 $M=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的特殊情况。在第一种情况下，我们关注的形式为 $\omega =fdx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n-1}$，因此 $d\omega ={\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(-1)^{n-1}dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}$。现在 $\mathbb {R} ^{n}$ 没有边界，因此

$\int _{\partial \mathbb {R} ^{n}}\omega =\int _{\emptyset }\omega =0$

根据形式积分的定义。事实上，对于 $\emptyset$，我们有空集图集，它是定向的。此外，使用富比尼定理，我们有

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}d\omega &=(-1)^{n-1}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}\\&=0,\end{aligned}}$

因为 $f$ 以及 ${\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}$ 具有紧支撑，证明了对于 $M=\mathbb {R} ^{n}$ 的陈述。我们继续研究半空间，即我们设定 $M=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$。一个通用的 ($n-1$)-形式可以写成

$\omega =\sum _{k=1}^{n}f_{k}dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{k}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n}$,

因此我们有

$d\omega =\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}\right)dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}$.

因此，

${\begin{aligned}\int _{M}d\omega &=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}dx_{1}\cdots dx_{n}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{2}\cdots dx_{n}+\overbrace {\sum _{k=2}^{n}(-1)^{k-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}dx_{k}dx_{2}\cdots {\widehat {dx_{k}}}\cdots dx_{n}dx_{1}} ^{=0}\end{aligned}}$

和

$\int _{\partial M}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{2}\cdots dx_{n}$

两个积分重合。处理完这两个特殊情况后，我们就可以继续处理一般情况。因此，假设我们有一个定向流形 $M$，其定向图集为 $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得每个 $V_{\alpha }:=\varphi _{\alpha }(U_{\alpha })$ 等于 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n}|x_{1}\geq 0\}$ 或 $\mathbb {R} ^{n}$，并令 $\omega \in \Omega _{c}^{n-1}(M)$，其中 $n=\dim M$。然后根据定向流形上最高次微分形式积分的定义，只要 $(\rho _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 的一个 подчиненное разбиение единицы，我们有

${\begin{aligned}\int _{M}d\omega =\sum _{\alpha \in A}\int _{U_{\alpha }}\rho _{\alpha }d\omega =\sum _{\alpha \in A}\int _{V_{\alpha }}\rho _{\alpha }\varphi _{\alpha }^{*}(d\omega )=\sum _{\alpha \in A}\rho _{\alpha }\int _{V_{\alpha }}d\varphi _{\alpha }^{*}(\omega )=\sum _{\alpha \in A}\rho _{\alpha }\int _{\partial V_{\alpha }}\varphi _{\alpha }^{*}(\omega )=\int _{\partial M}\omega .\end{aligned}}$ $\Box$