可微流形/伪黎曼流形

非退化对称双线性形式和度量张量

定义 12.1:

令 $V$ 为 $\mathbb {R}$ 上的向量空间，并令 $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R}$ 为双线性函数。我们称 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

对称当且仅当 $\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V:\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle$
非退化 当且仅当 $\forall \mathbf {v} \in V:\left((\forall \mathbf {w} \in V:\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0)\Rightarrow \mathbf {v} =0\right)$

定理 12.2:

令 $V$ 为 $\mathbb {R}$ 上的向量空间，令 $V^{*}$ 为其对偶空间，并令 $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R}$ 为非退化双线性形式。则函数

J:V\to V^{*},J(\mathbf {v} ):=\langle \mathbf {v} ,\cdot \rangle

是双射的。

证明:

定义 12.3:

令 $M$ 为一个流形。一个 $(0,2)$ 张量场 $\mathbf {T}$ 在 $M$ 上被称为

对称当且仅当 $\forall p\in M:\left(\forall \mathbf {v} _{p},\mathbf {w} _{p}\in T_{p}M:\mathbf {T} (\mathbf {v} _{p},\mathbf {w} _{p})=\mathbf {T} (\mathbf {w} _{p},\mathbf {v} _{p})\right)$
非退化 当且仅当 $\forall p\in M:\left(\mathbf {v} _{p}\in T_{p}M:\left((\forall \mathbf {w} _{p}\in T_{p}M:T(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0)\Rightarrow \mathbf {v} _{p}=0\right)\right)$

定义 12.4:

令 $M$ 为一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形。我们用术语 $M$ 上的度量张量来指 $M$ 上的类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的对称和非退化的 $(0,2)$ 张量场。

在下文中，我们将用 $\langle \cdot ,\cdot \rangle (\cdot )$ 表示度量张量。让我们进一步解释一下这个符号： $(0,2)$ 张量场在 $M$ 上是一个函数，它将 $M$ 上的每个点 $p\in M$ 映射到 $(0,2)$ 张量，相对于 $T_{p}M$ 。在每个点 $p\in M$ ，我们的度量张量取 $(0,2)$ 张量的值

\langle \cdot ,\cdot \rangle (p)

，其中两个 $\cdot$ 表示 $T_{p}M$ 元素的两个输入。

定理 12.5:

设 $M$ 为一个流形， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 为一个度量张量。则对每个 $p\in M$ ，

\langle \cdot ,\cdot \rangle (p)

是一个对称的非退化的双线性形式。

证明：见习题 1。

定义 12.6:

一个伪黎曼流形是一个流形 $M$ 以及一个度量张量。

弧长、等距和 Killing 向量场

定义 12.7:

令 $M$ 为一个伪黎曼流形，度量张量为 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ，令 $I\subseteq \mathbb {R}$ 为一个区间，令 $\gamma :I\to M$ 为一条曲线。 $\gamma$ 的长度，用 $l(\gamma )$ 表示，定义如下

l(\gamma ):=\int _{I}{\sqrt {\langle \gamma '_{x},\gamma '_{x}\rangle (\gamma (x))}}dx

定义 12.8:

令 $M$ 和 $N$ 是两个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的伪黎曼流形，其中 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{M}$ 是 $M$ 的度量张量，而 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{N}$ 是 $N$ 的度量张量。用 ** $M$ 和 $N$ 之间的等距**，我们指的是一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的微分同胚 $\psi :M\to N$ ，使得对于定义在 *有限* 区间 $I\subset \mathbb {R}$ 上的每条曲线 $\rho :I\to M$ ，我们都有

l(\rho )=l(\psi _{*}\rho )

定义 12.9:

令 $M$ 为一个流形。我们称 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 为 **Killing 向量场**（以 Wilhelm Killing 命名；这与杀死无关）当且仅当对每个 $x\in \mathbb {R}$ ， $\Phi _{x}$ 是 $M$ 和 $M$ 之间的等距，对所有 $x\in \mathbb {R}$ ，使得 $\Phi _{x}$ 的定义域等于整个 $M$ 。