可微流形/张量场

定义（卡当导数）:

证明：对于 $k\in \mathbb {N} \cup \{0\}$， 很明显 $d$ 将 $\Omega ^{k}(M)$ 映射到 $\Omega ^{k+1}(M)$。我们声称 $d\circ d=0$ 也是如此。根据线性，我们可以简化为基元的情况，所以假设 $\omega =fdx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}\in \Omega ^{k}(M)$， 其中 $i_{1}<\cdots <i_{k}$ 并且 $f\in C^{\infty }(M)$。然后

${\begin{aligned}(d\circ d)(\omega )&=d\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}\right)\\&=\sum _{k,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}dx_{k}\wedge dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}.\end{aligned}}$

根据 克莱罗定理 和 $\wedge$ 的反对易性，所有项都抵消了，除了 $k=j$ 的项，而那里 $dx_{k}\wedge dx_{j}=0$。 $\Box$