可微流形/可微流形的定义

定义（可微流形）:

令 $k\in \mathbb {N}$。那么，${\mathcal {C}}^{k}$ 类别的可微流形是一个拓扑空间 $M$，以及一个函数族 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得每个 $\varphi _{\alpha }$ 是定义在 $M$ 的开子集 $U_{\alpha }\subseteq M$ 上的同胚，其像是

• $\mathbb {R} ^{n}$ 的开子集
• 或者半空间 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的开子集（关于子空间拓扑）

满足以下条件

• 对于所有的 $\alpha ,\beta \in A$，函数 $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 在其定义域上是 $k$ 次连续可微
• 对于所有的 $p\in M$，存在一个 $\alpha \in A$ 使得 $p\in U_{\alpha }$

定义（图集）:

令 $M$ 为一个由函数族 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 定义的 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类可微流形。$M$ 的一个 **图集** 是一个函数族 $(\psi _{\beta })_{\beta \in B}$，使得每个 $\psi _{\beta }$ 是定义在开子集 $V_{\beta }\subseteq M$ 上的同胚，其像为

• $\mathbb {R} ^{n}$ 的开子集
• 或者半空间 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的开子集（关于子空间拓扑）

使得函数族 $(\psi _{\beta })_{\beta \in B}$ 与函数族 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 兼容，即对于所有 $\beta \in B$ 和 $\alpha \in A$，两个函数 $\varphi _{\alpha }\circ \psi _{\beta }^{-1}$ 及其逆函数 $\psi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}$ 在其各自定义域上 $k$ 次连续可微，并且对于每个 $p\in M$，都存在一个 $\beta \in B$ 使得 $p\in V_{\beta }$.

定义（图）:

设 $M$ 是一个可微流形。那么 $M$ 的 **图** 是一个函数 $\varphi _{\alpha }$，其中 $\alpha \in A$，而 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的任何一个图集。

定义（边界）:

设 $M$ 是一个配备了图集 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 的可微流形。此外，设 $B\subseteq A$ 是所有 $\alpha \in A$ 的集合，使得 $\varphi _{\alpha }$ 映射到半空间 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的一个开子集（关于 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间拓扑）。$M$ 的 **边界**，通常用 $\partial M$ 表示，定义如下

$\partial M:=\bigcup _{\beta \in B}\varphi _{\beta }^{-1}\left(\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}\right)$

定义（具有边界的可微流形）:

带边可微流形 是一个可微流形 $M$，配备了一个图集 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得至少有一个图 $\varphi _{\alpha }$ 的像是 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ （相对于 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间拓扑）与边界集 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 相交。

命题（带边可微流形的边界是可微流形）:

设 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的带边可微流形，并设 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的一个图集。那么 $\partial M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的带边可微流形，且族

$(\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M)_{\alpha \in A}$

构成了 $\partial M$ 的一个图集，其中 $\pi _{2,\ldots ,n}$ 定义如下

$\pi _{2,\ldots ,n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n-1},~\pi _{2,\ldots ,n}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{2},\ldots ,x_{n})$

证明：首先，我们证明对于每个 $\alpha \in A$，函数 $\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 是一个同胚。

为此，谨慎地观察，只要 $p\in \partial M$ 且 $\alpha \in A$ 使得 $U_{\alpha }$ 包含 $p$（其中 $U_{\beta }\subseteq M$ 表示 $\varphi _{\alpha }$ 的定义域），那么 $\varphi _{\alpha }(p)\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$。这是因为根据 $\partial M$ 的定义，存在一个 $\beta \in A$ 和一个 $x\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 使得

$p=\varphi _{\beta }^{-1}(x)$;

然而，函数 $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 是一个同胚，因此它的逆也是一个同胚，所以假设 $\varphi _{\alpha }(p)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x)\notin \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$，该集合的闭合性允许我们选择一个 $\varphi _{\alpha }(p)$ 的开邻域 $V$ ，它与 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 没有交集，而 布劳威尔域不变性定理 则暗示

$(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})^{-1}(V)=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}(V)$

是一个关于 $x$ 的开放邻域，相对于 $\mathbb {R} ^{n}$ 的欧几里得拓扑，而同一集合必须包含在 $\varphi _{\beta }$ 的像中，而 $\varphi _{\beta }$ 又包含在 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 中，所以 $\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}(V)$ 不能与 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 相交，否则它将包含其边界点之一 因此不是闭合的，这与 $\varphi _{\beta }(p)\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 的假设相矛盾。

这证明了，只要 $\alpha \in A$，函数 $\varphi _{\alpha }$ 将 $\partial M$ 映射到 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$。因此，当限制在 $\varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 的图像时，函数 $\pi _{2,\ldots ,n}$ 是可逆的，并且事实上是 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$（赋予子空间拓扑）和 $\mathbb {R} ^{n}$ 之间的同胚。事实上，以这种方式限制，$\pi _{2,\ldots ,n}$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类别的微分同胚。

此外，$\varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 是一个同胚，因为 同胚的限制仍然是同胚。因此，

$\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M=\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$

是同胚的，因为它是同胚的复合；事实上，$\varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 是 $\partial M$ 的一个子集到 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 的一个子集之间的同胚。

现在令 $\alpha ,\beta \in A$。则

$\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\beta }\upharpoonright \partial M)^{-1}=\pi _{2,\ldots ,n}\circ (\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1}$,

可微性条件现在可以从以下事实得出：三个函数 $\pi _{2,\ldots ,n}$，$\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 和 $(\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1}$ [[是 $k$ 次可微的，因为它是 $k$ 次可微函数的复合]]。

最后，根据 $\partial M$ 的定义，族 $(\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M)_{\alpha \in A}$ 中函数的定义域覆盖了整个 $\partial M$。$\Box$