多元实变函数微积分/测试函数

我们将考虑两类测试函数，即 bump 函数和 Schwartz 函数。

定义 (Schwartz 函数):

令 $n\in \mathbb {N}$。 那么 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的 Schwartz 函数 是以下定义的集合 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$

${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{u\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}){\big |}\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}:\left\|x^{\alpha }\partial ^{\beta }u\right\|_{\infty }<\infty \right\}$.

定义 (bump 函数):

令 $n\in \mathbb {N}$。 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的 bump 函数 是一个函数 $u\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$，使得 $\operatorname {supp} u$，即 $u$ 的 支撑，是紧致的。

命题 (测试函数是可积的):

令 $u\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 或 $u\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$。 那么 $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$。

{{证明|首先假设 $u\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$。 我们知道在 ${\overline {B}}_{1}(0)$ 上， $|u(x)|$ 通过 Weierstraß 定理 达到最大值。