数字信号处理/双线性变换

双线性变换

双线性变换是一种数学关系，可以用来将特定滤波器在复拉普拉斯域中的传递函数转换为z域，反之亦然。生成的滤波器将具有与原始滤波器相同的特性，但可以使用不同的技术来实现。拉普拉斯域更适合设计模拟滤波器组件，而Z变换更适合设计数字滤波器组件。

双线性变换是将模拟传递函数数值积分到数字域的结果。我们可以将双线性变换定义为

$s={\frac {2(1-z^{-1})}{T(1+z^{-1})}}$

双线性变换可以用来生成一个分段常数幅度响应，它近似于等效模拟滤波器的幅度响应。然而，双线性变换不能忠实地再现模拟滤波器的相位响应。

例如，下图显示了使用 40 rad/sec 的采样频率，双线性变换等效于模拟系统的相位响应。比较图中的相位响应，意识到限制是 Ws/2=20 rad/s - 很明显地出现了发散。

$y1/u1={\frac {s^{5}+11.21s^{4}+116.2s^{3}+372.6s^{2}+561.6s+363.5}{s^{7}+26.49s^{6}+340.5s^{5}+2462s^{4}+1.043e+04s^{3}+2.336e+04s^{2}+1.905e+04s+4982}}$

• num = [1 11.21 116.242 372.601 561.589 363.528 ];
• den= [1 26.489 340.47 2461.61 10433.1 23363.9 19049. 4981.82 ];
• C=tf(num,den); % GNU Octave 命令
• D=c2d(C,2*pi/40,'bi');  % A/D 通过 Octave

$y1/u1={\frac {0.002524z^{7}-0.00226z^{6}-0.003061z^{5}+0.004265z^{4}-0.001063z^{3}-0.001333z^{2}+0.001663z-0.0006096}{z^{7}-3.545z^{6}+5.43z^{5}-4.798z^{4}+2.702z^{3}-0.9835z^{2}+0.2186z-0.02319}}$

注意，为了使零点和极点计数匹配，添加了两个零点。

• 
  相位差异接近 Ws/2

W域

双线性变换是一种一对一映射，也就是说，在一个域中的唯一点将被变换为另一个域中的唯一点。但是，变换不是线性变换，并且不是拉普拉斯域和 Z域 之间的完全等效性。如果设计一个数字滤波器并将其转换为模拟滤波器，生成的极点和零点不会位于s平面，而是位于具有相似属性的 w平面，但具有非线性对应关系。

在双线性变换中，s域中的正虚轴被变换为z域中的上半单位圆。同样，s域中的负虚轴被变换为z域中的下半单位圆。但是，这种映射是高度非线性的，导致了称为“频率扭曲”的现象。

预失真

频率扭曲遵循已知模式，并且扭曲频率和已知频率之间存在已知关系。我们可以使用称为预失真的技术来解决非线性问题，并生成更忠实的映射。

$\omega _{p}={\frac {2}{T}}\tan \left({\frac {\omega T}{2}}\right)$

p 下标表示相同频率的预失真版本。注意，在极限 $T\to 0$，连续解是 $\omega _{p}\to \omega$.

相位

双线性变换不保留模拟滤波器的相位特性，并且没有办法校正相位响应以匹配。

滤波器设计步骤

当使用模拟近似和双线性变换设计数字滤波器时，我们遵循以下步骤。

1. 预扭曲截止频率。
2. 设计必要的模拟滤波器。
3. 将双线性变换应用于传递函数。
4. 将所得传递函数归一化为单调且具有单位通带增益（0dB）。

或者，如果我们有**逆双线性变换**，我们可以遵循以下步骤。

1. 使用逆双线性变换对数字域中的滤波器规格进行转换，以产生模拟域中的等效规格。
2. 构建模拟滤波器传递函数以满足这些规格。
3. 使用双线性变换将所得模拟滤波器转换为数字滤波器。

逆双线性变换

逆双线性变换可以这样指定。

$z={\frac {1+{\frac {s}{2*f_{s}}}}{1-{\frac {s}{2*f_{s}}}}}$

其中$f_{s}$是采样率$(f_{s}={\frac {1}{T}})$

这也写成

$z^{-1}={\frac {1-{\frac {T*s}{2}}}{1+{\frac {T*s}{2}}}}$

这与双线性变换非常相似。