数字信号处理/Z变换

Z变换与DTFT有着密切的关系，在转换、分析和处理离散微积分方程方面非常有用。Z变换之所以这样命名，是因为字母“z”（小写Z）被用作变换变量。

Z变换定义

对于给定的序列x[n]，我们可以这样定义z变换X(z)

[Z变换]

${\mathcal {Z}}(x[n])=X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$需要注意的是，z是一个连续复变量，定义如下

$z=Re(z)+jIm(z)$ 其中$j={\sqrt {-1}}$是虚数单位。

可能存在几个序列$x[n]$，它们将生成相同的z变换$X(z)$，不同的函数通过$z$的收敛区域来区分，z变换中的求和将在该区域内收敛。这些收敛区域是以原点为中心的环带。在给定的收敛区域中，只有一个$x[n]$将收敛到给定的$X(z)$。

示例1

$x[n]=\left\{{\begin{array}{ll}0&n<0\\a^{n}&n\geq 0\end{array}}\right.$

$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}={\frac {1}{1-az^{-1}}}$ 对于$\left|z\right|>\left|a\right|$

示例2

$x[n]=\left\{{\begin{array}{ll}-a^{n}&n<0\\0&n\geq 0\end{array}}\right.$

$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{-1}-a^{n}z^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }a^{-n}z^{n}=-\left({\frac {1}{1-za^{-1}}}-1\right)={\frac {1}{1-az^{-1}}}$ 当 $\left|z\right|<\left|a\right|$

请注意，这两个例子都具有相同的函数 $X(z)$ 作为它们的 Z 变换，但它们各自的 Z 变换中的无限求和收敛所需的收敛区域不同。许多关于 Z 变换的教科书只关注所谓的右半边函数，也就是说函数 $x[n]$，对于所有小于某个初始起始点 $N_{i}$ 的 $n$，$x[n]=0$；也就是说，对于所有 $n<N-i$，$x[n]=0$。只要函数在起始点之后最多以指数方式增长，这些所谓的右半边函数的 Z 变换将在一个通往无穷大的开环带上收敛，$\left|z\right|>R$，其中 $R$ 是某个正实数。

需要注意的是，Z 变换很少需要手动计算，因为许多常见的结果已经在表格中进行了广泛的整理，并且控制系统软件也包含了它（MatLab、Octave、SciLab）。

Z 变换实际上是所谓的洛朗级数的特例，而洛朗级数又是常用的泰勒级数的特例。

逆 Z 变换

逆 Z 变换可以这样定义

[逆 Z 变换]

$x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

其中 C 是一个闭合回路，位于 z 平面的单位圆内，并包围点 z = {0, 0}。

逆 Z 变换在数学上非常复杂，但幸运的是——就像 Z 变换本身一样——结果在表格中进行了广泛的整理。

与 DTFT 的等价性

如果我们将 $z=e^{j\omega }$ 代入 Z 变换，其中 $\omega$ 是以弧度/秒为单位的频率，则得到

$Z(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$

这等价于 离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time Fourier Transform) 的定义。换句话说，要从 Z 变换转换为 DTFT，我们需要在单位圆上评估 Z 变换。

性质

由于 z 变换等价于 DTFT，因此 z 变换具有许多相同的性质。具体来说，z 变换具有对偶性，并且它还有一个卷积定理的版本（稍后讨论）。

Z 变换是一个线性算子。

卷积定理

由于 Z 变换等价于 DTFT，因此它也具有一个值得明确说明的卷积定理。

卷积定理

离散时间域中的乘法变为 z 域中的卷积。z 域中的乘法变为离散时间域中的卷积。

Y(s)=X(s).H(s)

Z 平面

由于变量 z 是一个连续的复变量，因此我们可以将 z 变量映射到复平面，如下所示

传递函数

假设我们有一个系统，其输入/输出关系定义如下

Y(z) = H(z)X(z)

我们可以将系统的传递函数定义为 H(z) 项。如果我们有一个基本的传递函数，我们可以将其分解成几个部分

$H(z)={\frac {N(z)}{D(z)}}$

其中 H(z) 是传递函数，N(z) 是 H(z) 的分子，D(z) 是 H(z) 的分母。如果我们设 N(z)=0，则该方程的解称为传递函数的 **零点**。如果我们设 D(z)=0，则该方程的解称为传递函数的 **极点**。

传递函数的极点放大频率响应，而零点衰减频率响应。这很重要，因为当您设计滤波器时，可以在单位圆上放置极点和零点，并快速评估滤波器的频率响应。

示例

这是一个示例

$Y(z)={\frac {z^{-1}}{(z^{-1}+2)}}X(z)$

因此，通过除以 X(z)，我们可以证明传递函数定义如下

$H(z)={\frac {z^{-1}}{(z^{-1}+2)}}$

我们还可以找到 D(z) 和 N(z) 方程，如下所示

$N(z)=z^{-1}$

$D(z)=(z^{-1}+2)$

根据这些方程，我们可以找到极点和零点

零点

z → 0

极点

z → -1/2

稳定性

可以证明，对于任何具有传递函数 H(z) 的因果系统，为了使系统稳定，H(z) 的所有极点都必须位于 z 平面的单位圆内。传递函数的零点可以位于圆内或圆外。参见 控制系统/Jury 判据。

增益

增益是指输出幅度与输入幅度不同的倍数。如果在给定频率下输入幅度与输出幅度相同，则称该滤波器具有“单位增益”。

性质

以下是 Z 变换最常见的一些性质。

	时域	Z 域	收敛域 (ROC)
符号	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$	收敛域 (ROC)：$r_{2}<|z|<r_{1}\$
线性	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\$	至少为ROC1和ROC2的交集
时间平移	$x[n-k]\$	$z^{-k}X(z)\$	ROC，除了$z=0\$如果$k>0\,$，以及$z=\infty$如果$k<0\$
z域缩放	$a^{n}x[n]\$	$X(a^{-1}z)\$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\$
时间反转	$x[-n]\$	$X(z^{-1})\$	${\frac {1}{r_{2}}}<|z|<{\frac {1}{r_{1}}}\$
共轭	$x^{*}[n]\$	$X^{*}(z^{*})\$	收敛域 (ROC)
实部	$\operatorname {Re} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$	收敛域 (ROC)
虚部	$\operatorname {Im} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$	收敛域 (ROC)
微分	$nx[n]\$	$-z{\frac {\mathrm {d} X(z)}{\mathrm {d} z}}$	收敛域 (ROC)
卷积	$x_{1}[n]*x_{2}[n]\$	$X_{1}(z)X_{2}(z)\$	至少为ROC1和ROC2的交集
互相关	$r_{x_{1},x_{2}}(l)=x_{1}[l]*x_{2}[-l]\$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}(z)X_{2}(z^{-1})\$	至少为X1(z)和X2($z^{-1}$)的收敛域的交集
乘法	$x_{1}[n]x_{2}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\$	至少为$r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}\$
帕塞瓦尔定理	$\sum ^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\$

• 初始值定理

$x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\$，如果$x[n]\,$ 是因果的

• 终值定理

$x[\infty ]=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z)\$，仅当$(z-1)X(z)\$ 的极点位于单位圆内

进一步阅读

• 数字信号处理/双线性变换
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