数字信号处理/变换

本页面列出了一些来自本书的变换，解释了它们的用途，并列出了一些常用函数的变换对。

连续时间傅里叶变换 (CTFT)

[CTFT]

${\mathcal {F}}(\omega )=\int f(t)e^{j\omega t}dt$

CTFT 表格

	时域	频域
	$x(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X(\omega )\right\}$	$X(\omega )={\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$
1	$X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$	$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$
2	$1\,$	$2\pi \delta (\omega )\,$
3	$-0.5+u(t)\,$	${\frac {1}{j\omega }}\,$
4	$\delta (t)\,$	$1\,$
5	$\delta (t-c)\,$	$e^{-j\omega c}\,$
6	$u(t)\,$	$\pi \delta (\omega )+{\frac {1}{j\omega }}\,$
7	$e^{-bt}u(t)\,(b>0)$	${\frac {1}{j\omega +b}}\,$
8	$\cos \omega _{0}t\,$
9	$\cos(\omega _{0}t+\theta )\,$	$\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})+e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
10	$\sin \omega _{0}t\,$	$j\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})-\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
11	$\sin(\omega _{0}t+\theta )\,$	$j\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})-e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
12	${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau \omega }{2\pi }}\right)\,$
13	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau t}{2\pi }}\right)\,$	$2\pi {\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
14	$\left(1-{\frac {2|t|}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau \omega }{4\pi }}\right)\,$
15	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau t}{4\pi }}\right)\,$	$2\pi \left(1-{\frac {2|\omega |}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
16	$e^{-a|t|},\Re \{a\}>0\,$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}\,$
注释	${\mbox{sinc}}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)$ 是宽度为 $\tau$ 的矩形脉冲函数。 $u(t)$ 是海维赛德阶跃函数 $\delta (t)$ 是狄拉克δ函数

离散时间傅里叶变换 (DTFT)

DTFT 表格

时域 $x[n]\,$ 其中 $n\in \mathbb {Z}$	频域 $X(e^{j\omega })$ 其中 $\omega \in \mathbb {R}$	备注
${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X\left(e^{j\omega }\right)}e^{j\omega n}d\omega$	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]e^{-j\omega n}}$	定义
$x[n]={\begin{cases}1,&|n|\leq M\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$	${\frac {\sin \left(\omega \left({\frac {2M+1}{2}}\right)\right)}{\sin \left({\frac {\omega }{2}}\right)}}$
$\alpha ^{n}u\left[n\right]$	${\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega }}}$
$\delta [n]$	$1\!$	这里 $\delta [n]$ 表示 delta 函数 当 $n=0$ 时为 1，否则为 0。
$u[n]={\begin{cases}0&{\text{for }}n<0\\1&{\text{for }}n\geq 0\end{cases}}$	${\frac {1}{1-e^{-j\omega }}}+\pi \sum _{p=-\infty }^{\infty }{\delta \left(\omega -2\pi p\right)}$
${\frac {1}{\pi n}}\sin \left(Wn\right),\;\;\;\;0<W\leq \pi$	$X(e^{j\omega })={\begin{cases}1,&|\omega |\leq W\\0,&W<|\omega |\leq \pi \end{cases}}$	$X(e^{j\omega })$ 是 2π 周期的
$(n+1)\alpha ^{n}u\left[n\right]$	${\frac {1}{(1-\alpha e^{-j\omega })^{2}}}$

DTFT 性质

性质	时域 $x[n]\!$	频域 $X(\omega )\!$	备注
线性	$ax[n]+by[n]\!$	$aX(e^{i\omega })+bY(e^{i\omega })\!$
时移	$x[n-k]\!$	$X(e^{i\omega })e^{-i\omega k}\!$	整数 k
频移	$x[n]e^{ian}\!$	$X(e^{i(\omega -a)})\!$	实数 a
时间反转	$x[-n]\!$	$X(e^{-i\omega })\!$
时间共轭	$x[n]^{*}\!$	$X(e^{-i\omega })^{*}\!$
时间反转和共轭	$x[-n]^{*}\!$	$X(e^{i\omega })^{*}\!$
频率导数	${\frac {n}{i}}x[n]\!$	${\frac {dX(e^{i\omega })}{d\omega }}\!$
频率积分	${\frac {i}{n}}x[n]\!$	$\int _{-\pi }^{\omega }X(e^{i\vartheta })d\vartheta \!$
时间卷积	$x[n]*y[n]\!$	$X(e^{i\omega })\cdot Y(e^{i\omega })\!$
时间相乘	$x[n]\cdot y[n]\!$	${\frac {1}{2\pi }}X(e^{i\omega })*Y(e^{i\omega })\!$
相关	$\rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!$	$R_{xy}(\omega )=X(e^{i\omega })^{*}\cdot Y(e^{i\omega })\!$

其中

• $*\!$ 是两个信号之间的卷积。
• $x[n]^{*}\!$ 是函数 x[n] 的复共轭。
• $\rho _{xy}[n]\!$ 表示 x[n] 和 y[n] 之间的相关性。

离散傅里叶变换 (DFT)

DFT 表格

时域 x[n]	频域 X[k]	注释
$x_{n}\equiv {\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cdot e^{i2\pi kn/N}$	$X_{k}\equiv \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-i2\pi kn/N}$	DFT 定义
$x_{n}\cdot e^{i2\pi kn/N}\,$	$X_{n-k}\,$	移位定理
$x_{n-k}\,$	$X_{k}\cdot e^{-i2\pi kn/N}$
$x_{n}\in \mathbf {R}$	$X_{k}=X_{N-k}^{*}\,$	实数 DFT
$a^{n}\,$	${\frac {1-a^{N}}{1-a\cdot e^{-i2\pi k/N}}}$
${N-1 \choose n}\,$	$\left(1+e^{-i2\pi k/N}\right)^{N-1}\,$

Z 变换

Z 变换表格

这里

• $u[n]=1$ 对于 $n>=0$，$u[n]=0$ 对于 $n<0$
• $\delta [n]=1$ 对于 $n=0$，$\delta [n]=0$ 否则

	信号，$x[n]$	Z 变换，$X(z)$	ROC
1	$\delta [n]\,$	$1\,$	${\mbox{all }}z\,$
2	$\delta [n-n_{0}]\,$	$z^{-n_{0}}\,$	$z\neq 0\,$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1\,$
4	$-u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1\,$
5	$nu[n]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1\,$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1\,$
7	$n^{2}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|\,$
12	$-a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|\,$
13	$na^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|\,$
14	$-na^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|\,$
15	$n^{2}a^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|\,$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|\,$
17	$\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
18	$\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
19	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$
20	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$

双线性变换

参见 [1]