离散数学/朴素集合论

当我们谈论集合论时，我们通常谈论的是某些数学对象的集合。在这个意义上，一个集合可以比作一个袋子，装有有限（或可能无限）数量的物品。集合也可以是集合的集合（袋子里有袋子）。但是，集合不能包含重复项——集合只能包含特定项的一个副本。

例如，当我们查看某些类型的数字的集合时，例如自然数或有理数，我们可能只想谈论这些集合。这些数字集合当然非常重要，因此我们用特殊的符号来表示它们。

我们用大括号——{ 和 } 来写集合。我们在大括号中写入所有元素，即集合包含的内容，并用逗号隔开。我们通常用大写字母表示集合。

例如，我们用 {0,1} 表示包含数字 0 和数字 1 的集合。如果我们想给它命名，我们可以说 B={0,1}。

特殊集合

前面提到的数字集合，自然数、有理数等等，用以下符号表示

自然数写作 $\mathbb {N}$

{0,1,2,...}

整数写作 $\mathbb {Z}$

{0,1,-1,2,-2,...}

有理数写作 $\mathbb {Q}$

{0,1,1/2,1/3,...,2,2/3,2/4,...}

实数写作 $\mathbb {R}$

{0,

-{\sqrt {2}}

,

{\sqrt {2}}

,

\pi

,...}

这里我们通常会用标准粗体而不是上面看到的双线粗体来写这些。因此，我们在这里写N而不是 $\mathbb {N}$ （注意遵循维基百科惯例）。

符号

我们可以用一些符号来写下一些涉及集合的特殊关系。

包含关系

为了表明一个元素在一个集合中，例如，3 在集合 {1,2,3} 中，我们写

3\in \{1,2,3\}

我们也可以用另一种方式表达这种关系：我们说 3 是集合 {1,2,3} 的一个成员。此外，我们可以说集合 {1,2,3} 包含 3，但这种用法不推荐，因为它也用于指代子集（见下文）。

如果两个集合包含完全相同的元素，我们可以说这两个集合相等。例如，集合 {2,3,1} 和 {3,1,2} 都包含数字 1、2 和 3。我们写

\{2,3,1\}=\{3,1,2\}

我们将没有元素的集合写为 $\emptyset$ ，或 {}。这里我们使用 {} 表示 *空集*（注意遵循维基百科的惯例）。

子集的概念

集合论和其他数学领域中一个非常重要的概念是 **子集** 的概念。

假设我们有两个集合 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 和 B={0,1,2,3,4,5}。现在，B *包含 A 中的一些元素*，但不是全部。我们用 B 是 A 的 *子集* 来表达 A 和 B 之间的这种关系。我们这样写

B\subseteq A

如果 B 是 A 的子集，但 A 不是 B 的子集，则称 B 是 A 的 *真子集*。我们这样写

B\subset A

注意，如果 $B\subset A$ ，则 $B\subseteq A$

交集和并集

集合上有两种值得注意的、基本的特殊运算，即 *交集* 和 *并集*。它们在某种程度上类似于乘法和加法。

交集

两个集合 A 和 B 的交集是指 *两个集合都共有的* 元素。例如，如果 A={1,3,5,7,9} 和 B={0,1,3}，则它们的交集，写作 $A\cap B$ 是集合 {1,3}。

如果任何两个集合的交集为空，我们说这两个集合是 *不相交* 的。

并集

两个集合 A 和 B 的并集是指 *两个集合中* 的 *所有* 元素。例如，如果 A={1,3,5,7,9} 和 B={0,2,4,6,8}。我们说并集，写作 $A\cup B$ 是集合 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

集合推导

当我们写一个集合时，我们可以像上面那样写出集合中的所有元素。但是，如果我们想写一个 *无限* 集合，那么写出所有元素就显得过于笨拙。我们可以用 *集合推导* 表示法来解决这个问题。我们通过在集合中包含一个 *规则* 以及与一个 *指标集*（例如 I）的关系来写这些集合。也就是说；

S=\{x\in I|rule\}

其中 rule 可以是 *x*² 或 *x*=3*x* 之类的东西。

例如，此集合形成所有偶数的集合

\{x\in \mathbb {N} |x\mod 2=0\}

此集合形成一般二次方程的所有解的集合

\{x\in \mathbb {C} |ax^{2}+bx+c=0\}

全集和补集

全集

当我们进行集合操作时，考虑一个更大的工作集合是很有用的。例如，如果我们谈论集合 {-1,0,1} 和 {-3,-1,1,3}，我们可能希望在这种情况下在 **Z** 中工作。当我们谈论在这样一个更大的集合中工作时，比如在这种情况下是 **Z**，我们说 **Z** 是一个 *全集*，并且我们将所有集合都视为这个全集的子集。

我们将全集写为 ${\mathcal {E}}$ ，但是将其表示为 **E** 可能更简单。

补集

在更大的全集 **E** 中给定一个集合 A，我们将 A 的补集定义为 **E** 中不在 A 中的所有元素，即 A 的补集是

\{x\in {\mathcal {E}}|x\not \in A\}

我们将补集写成 A' 或 A^c。在本文件中，我们将使用 A'。

习题集

根据以上信息，请回答以下问题（偶数编号问题的答案在后面给出）。

是否 $3/4\in \mathbb {Q}$ ?
是否 ${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$ ?
是否 $\{x\in \mathbb {N} |2x\}=\{x\in \mathbb {N} |{x \over 2}\in \mathbb {N} \}$ ?
正确还是错误？如果是错误，请举一个第一个集合中的元素不在第二个集合中的例子。
1. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$
2. $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Z}$
正确还是错误？如果是错误，请举一个第一个集合中的元素不在第二个集合中的例子。
1. $\mathbb {R} \subset \mathbb {Q}$
2. $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$
是否 $\{1,2,3\}\subset \{1,2,3,4\}$ ?
是否 $\{1,2,3,5\}\subseteq \{1,2,3,4\}$ ?
写出以下集合的 5 个元素：
$\{x\in \mathbb {Z} |x-3\mod 2=0\}$
写出以下集合的元素：
$\{x\in \mathbb {C} |x^{2}+4x-3=0\}$
找到一个包含以下集合的全集： $\{x\in \mathbb {Z^{+}} |a=x^{2}and\ {\sqrt {a}}\in \mathbb {N} \},\{x\in \mathbb {N} |x/3\}$
给定 ${\mathcal {E}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ，求给定 $A={1,4,7,9}$ 的A'。