动力系统/曼德博集合

定义（曼德博集合）:

对于 $c\in \mathbb {C}$，定义 $f_{c}(z):=z^{2}+c$。**曼德博集合** 是复平面 $\mathbb {C}$ 的点集 $c$，使得集合

$\{f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots \}\subset \mathbb {C}$

是有界的。

这是一张曼德博集合的图片

该集合促使了以下更精确的定义

定义（曼德博型集合）:

我们定义**曼德博型集合** 为复平面上点集 $c$，使得

$\{f(c,0),f(c,f(c,0)),f(c,f(c,f(c,0))),\ldots \}$

是 $\mathbb {C}$ 的有界子集，其中 $f:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 是两个变量的解析函数，且

$\{f(c,0),f(c,f(c,0)),f(c,f(c,f(c,0))),\ldots \}$

一旦其元素的模量超过某个阈值 $C>0$，将会无界。

命题（曼德博型集合是有界的）:

命题（曼德博型集合是闭合的）:

命题（曼德博型集合是紧致的）:

命题（曼德博型集合是单连通的）:

设 $M$ 是一个曼德博型集合。那么 $M$ 是单连通的。

证明：假设不成立。则 $M$ 的补集将有一个有界分量 $A\subset \mathbb {C}$。取任意点 $c_{0}\in {\overset {\circ }{A}}$。然后归纳地定义 $\phi _{n}(c):=f(c,\phi _{n-1}(c))$，其中 $\phi _{0}(c)=0$；这是迭代函数，并且是全纯的。根据假设，存在 $n$ 使得 $|\phi _{n}(c_{0})|>C$。但根据 最大值原理，对于某个 $c_{1}\in \partial A$，有 $|\phi _{n}(c_{1})|>C$，因此 $c_{1}\in \partial A\cap M^{c}$。但 $M$ 是闭集。 $\Box$