F检验涉及计算F统计量，然后将该统计量与给定显著性水平和分子和分母自由度下的F分布的临界值进行比较。
F统计量是通过将卡方分布除以其自由度，再除以另一个（独立的）卡方分布除以其自由度来计算的。得到的F统计量有两个自由度参数，分别对应于分子和分母。
因此， β 1 ^ {\displaystyle {\hat {\beta _{1}}}} 的F统计量将为
我们知道（某种方式） [ Z ( 0 , 1 ) ] 2 = χ 2 [ 1 ] {\displaystyle [Z(0,1)]^{2}=\chi ^{2}[1]} ，因此我们将分子设置为
Z ( β 1 ^ ) 2 = ( β 1 ^ − β 1 ) 2 ( ∑ X i 2 ) σ 2 ∼ χ 2 [ 1 ] = χ 2 [ 1 ] 1 {\displaystyle Z({\hat {\beta _{1}}})^{2}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}(\sum X_{i}^{2})}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}[1]={\frac {\chi ^{2}[1]}{1}}}
根据t检验解释中使用的CLRM最后一个假设的相同含义，
χ 2 [ N − 2 ] N − 2 ∼ σ 2 ^ σ 2 {\displaystyle {\frac {\chi ^{2}[N-2]}{N-2}}\sim {\frac {\hat {\sigma ^{2}}}{\sigma ^{2}}}}
因此，将所有内容整合在一起，我们得到： F ( β 1 ^ ) = ( β 1 ^ − β 1 ) 2 ( ∑ X i 2 ) / σ 2 σ 2 ^ / σ 2 = ( β 1 ^ − β 1 ) 2 σ 2 ^ / ∑ X i 2 = ( β 1 ^ − β 1 ) 2 V a r ^ ( β 1 ^ ) ∼ F [ 1 , N − 2 ] {\displaystyle F({\hat {\beta _{1}}})={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}(\sum X_{i}^{2})/\sigma ^{2}}{{\hat {\sigma ^{2}}}/\sigma ^{2}}}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}}{{\hat {\sigma ^{2}}}/\sum X_{i}^{2}}}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}}{{\hat {Var}}({\hat {\beta _{1}}})}}\sim F[1,N-2]}
的F统计量将为![{\displaystyle [Z(0,1)]^{2}=\chi ^{2}[1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300819d8b54ba0b807a46c37dde4d27c29b72c14)
，因此我们将分子设置为![{\displaystyle Z({\hat {\beta _{1}}})^{2}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}(\sum X_{i}^{2})}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}[1]={\frac {\chi ^{2}[1]}{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8642e521196f03473d26ee811779039da882cbfc)
![{\displaystyle {\frac {\chi ^{2}[N-2]}{N-2}}\sim {\frac {\hat {\sigma ^{2}}}{\sigma ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88c5991932206ff9b95fb2f704caf99382acbf2)
![{\displaystyle F({\hat {\beta _{1}}})={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}(\sum X_{i}^{2})/\sigma ^{2}}{{\hat {\sigma ^{2}}}/\sigma ^{2}}}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}}{{\hat {\sigma ^{2}}}/\sum X_{i}^{2}}}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})^{2}}{{\hat {Var}}({\hat {\beta _{1}}})}}\sim F[1,N-2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff093d1bc548f54afad3fd2a79d0cf097f92dcb2)
