计量经济学理论/异方差性

我们线性回归的CLR假设之一是扰动项是同方差的，这意味着它们具有相同的离散程度($Var(\epsilon )=\sigma ^{2}$)。然而，有时回归最终会得到异方差的扰动项，这意味着离散程度不相等($Var(\epsilon )=\sigma _{i}^{2}$)。

异方差，锥形

异方差性的原因

异方差在横截面数据中比在时间序列数据中更常见。它通常是由于规模或大小因素造成的。

示例：在基本的凯恩斯经济学中，我们假设储蓄和收入由财富和收入决定。拥有更多财富和收入的主体更有可能储蓄，这将产生异方差关系。主要原因包括：1. 异常值的存在 2. 变量遗漏 3. 回归变量分布的偏度 4. 不正确或错误的函数形式

异方差性的后果

1) OLS系数对于真实值仍然是无偏的。 $E({\hat {\beta }})=\beta$

无偏系数取决于$E(\epsilon )=0,cov(x_{i},\epsilon _{i})=0$

因此，回归在这个假设下不受异方差性的影响。

2) OLS系数不是有效的。存在OLS系数的替代方案，其方差小于OLS系数的方差。 $\exists _{\tilde {\beta }}st.var({\tilde {\beta }})<var({\hat {\beta }}^{OLS})$ 其中$E({\tilde {\beta }})=\beta$，因此，更有效。

3) 在存在OLS系数异方差的情况下，基于系数标准误的假设检验是无效的。

OLS估计量的估计方差中的偏差会导致效率低下。

回顾：${\hat {\beta }}^{OLS}=\beta +{\frac {\sum (x_{i}+{\bar {x}})\epsilon _{i}}{\sum (x_{i}+{\bar {x}})^{2}}}$

当${\hat {\beta }}$是无偏的时，第二项趋于零。然而，在异方差的情况下，第二项不为零。

推导$var({\hat {\beta }}^{OLS})$，当$var(\epsilon )=\sigma _{i}^{2}$$var({\hat {\beta }}^{OLS})=var({\frac {\sum (x_{i}+{\bar {x}})\epsilon _{i}}{\sum (x_{i}+{\bar {x}})^{2}}})$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}var(\sum (x_{i}-{\bar {x}})\epsilon )$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}\sum var((x_{i}-{\bar {x}})\epsilon )$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}\sum x_{i}-{\bar {x}})^{2}var(\epsilon )$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}\sum x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sigma _{i}^{2}$

我们可以用矩阵 Z 来表示误差项方差的差异

$\sigma _{i}^{2}=Z\sigma ^{2}$