计量经济学理论/矩阵代数

矩阵

矩阵是由数字按行和列排列成的数组。以下是一些矩阵的例子：

$A={\begin{bmatrix}2&4&6\\0&-5&7.105\\1&-3&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}-3&-4\\\pi &{\sqrt {2}}\end{bmatrix}},{\mbox{ and }}\,\,\,C={\begin{bmatrix}-3&-5&0&0\\-1&4.56&3.28&19\end{bmatrix}}.$

在描述矩阵时，我们先指明行数，再指明列数。例如，矩阵 $C$ 有两行四列，被称为 $2\times 4$ 矩阵。

通常用大写字母来命名矩阵，用带下标的小写字母来标识矩阵中的特定元素。

例如，要标识矩阵 $A$ 中第 1 行第 3 列的元素，我们写 $a_{13}$。若要表示该元素为 6，我们写方程 $a_{13}=6$。

只有当两个矩阵大小相同且所有对应元素都相等时，这两个矩阵才被认为是相等的。

列矩阵是只有一列的矩阵。类似地，行矩阵只有一行。

向量

向量通常被定义为一个包含许多属性的长列表。但目前我们先回避这个更复杂的定义，而简单地说向量就是一个有序的数字列表。稍后我们将看到，向量实际上可以比这复杂得多。

有序对 $(x,y)$ 用于标识平面上的一个点，可以被视为一个向量。

类似地，有序三元组 $(x,y,z)$ 也是一个向量。

显然，行矩阵和列矩阵也可以被视为向量。

通常用带箭头的变量来命名向量。

例如，我们可以写 ${\vec {v}}=(2,3,5,-4),{\mbox{ or }}{\vec {w}}={\begin{bmatrix}4\\5\\0\end{bmatrix}}$。

在大多数情况下，将向量视为列矩阵会比较方便。