计量经济学理论/多元回归分析

我们最初的回归（MLE 和 OLS）是双变量的。我们的线是简单的，两变量线。然而，在大多数经济数据中，存在许多可能影响因变量的独立因素。因此，我们可以扩展解释函数以允许多个独立变量。

我们的函数不再看起来像 $Y_{=}\alpha +\beta X_{i}+\epsilon _{i}$，而是看起来像 $Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1,i}+\beta _{2}X_{2,i}+\cdots +\beta _{n}X_{n,i}+\epsilon _{i}$

通过向我们的模型添加更多变量和数据，我们可以有望更好地拟合和理解因变量。但是，随着变量的增加，也会出现一些问题，这些问题会误导我们的模型。

拟合优度

当我们转向多元回归情况时，我们的拟合优度看起来与以前在双变量情况下的非常相似。TSS = ESS + RSS。我们的 R² = ESS/TSS) = 1 - (RSS/TSS)。我们仍然可以使用我们的决定系数 R² (R² = ESS/TSS = 1 - (RSS/TSS))，但它存在一个问题。R² 永远不会因为添加变量而减少，无论该变量是否有助于我们解释因变量。当我们在函数中添加一个新变量时，ESS 是根据更大的一组变量计算的，ESS 将大于或等于我们之前拥有的值。这将导致我们的 R² 增加，即使添加新变量损害了我们的模型。有一个工具可以解决这个问题。R² 被用调整后的 R² 替换，它根据添加的自由度进行调整。调整后的 R² 通过在 'R' 上方添加一个横线来表示。

${\bar {R^{2}}}=1-({\frac {\hat {var(\epsilon )}}{\hat {var(Y)}}})$