计量经济学理论/概率密度函数 (PDF)

离散随机变量的概率质量函数

概率质量函数 f(x) (PMF) 是一个根据输入变量 x 确定概率的函数，其中 x 是一个离散随机变量 (rv)。

pmf必须满足以下性质

$f(x)={\begin{cases}P(X=x_{i})&{\mbox{for }}i=1,2,\cdots ,n\\0&{\mbox{for }}x\neq x_{i}\end{cases}}$

\sum _{i}f(x_{i})=1.

连续 PDF 要求输入变量 x 现在是一个连续 rv。必须满足以下条件

$f(x)\geq 0$

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=P(a\leq x\leq b)$

联合pdf 是两个或多个随机变量的函数。函数

${\begin{aligned}f(X\in A,Y\in B)&=\int _{A}\,\int _{B}f(x,y)\,dx\,dy\\&=0,{\mbox{if }}x\notin A{\mbox{ and }}y\notin B\\\end{aligned}}$

是连续联合概率密度函数。它给出了 x 和 y 的联合概率。

函数

${\begin{aligned}p(X\in A,Y\in B)&=\sum _{X\in A}\sum _{Y\in B}p(x,y)\\&=0,{\mbox{if }}x\notin A{\mbox{ and }}Y\notin y\\\end{aligned}}$

类似地，它是**离散联合概率密度函数**

边际**PDF**是从联合PDF推导出来的。如果将联合pdf在X变量的分布上积分，则可以得到y的边际PDF， $f(y)$ 。连续边际概率分布函数为

$f(x)=\int _{y}^{B}f(x,y)dy$

$f(y)=\int _{x}^{A}f(x,y)dx$

离散边际概率分布函数为

$p(x)=\sum _{y\in B}p(x,y)$

$p(y)=\sum _{x\in A}p(x,y)$

$f(x\mid y)=P(X=x,Y=y)={\frac {f(x,y)}{f(y)}}$

$f(y\mid x)=P(Y=y,X=x)={\frac {f(x,y)}{f(x)}}$

Gujarati, D.N. (2003)。基本计量经济学，国际版 - 第 4 版。麦格劳-希尔高等教育。第 870-877 页。ISBN 0-07-112342-3。