计量经济学理论/β1 属性证明

线性

为了线性，${\hat {\beta }}_{1}$ 必须是 $Y_{i}$ 的线性函数，如下所示

${\hat {\beta }}_{1}=\sum {k_{i}Y_{i}}$

其中 $k_{i}$ 是一个常数，在任何给定的观察 'i' 中。

证明

从 OLS 正规方程 ${\hat {\beta }}_{1}$ 的均值偏差形式解中，我们有

${\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum {x_{i}y_{i}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}={\frac {\sum {x_{i}(Y_{i}-{\bar {Y}})}}{\sum {x_{i}^{2}}}}={\frac {\sum {x_{i}Y_{i}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}-{\frac {\sum {x_{i}{\bar {Y}}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}$

$={\frac {\sum {x_{i}Y_{i}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}$，因为 ${\sum {x_{i}}}=0$。

$=\sum {k_{i}Y_{i}}$，其中 $k_{i}={\frac {x_{i}}{\sum {x_{i}}}}$，对于任何给定的 'i' 值，这是一个常数。