计量经济学理论/序列相关

在时间序列数据中，尤其是，CLR 的 $corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})=0$ 假设被打破。在计量经济学中，这被称为 **序列相关** 或 **自相关**。这意味着 $corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})\neq 0$ 并且在误差项之间存在模式。然后误差项在观察之间不是独立分布的，并且不是 *严格* 随机的。

自相关的例子

$corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})>0$

$corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})<0$

函数形式

当误差项与前一个误差项相关时，它可以写成代数方程。 $\epsilon _{t}=\rho \epsilon _{t-1}+u_{t}$ 其中 ρ 是两个扰动项之间的自相关系数，u 是自相关的扰动项。这被称为 **自回归过程**。 $-1<\rho =corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})<1$ 方程中需要 u，因为虽然误差项的随机性较低，但它仍然具有一定的随机影响。

N 阶序列相关

自回归模型

一阶自回归过程，**AR(1)**: $\epsilon _{t}=\rho \epsilon _{t-1}+u_{t}$ $\epsilon _{t}=\rho \epsilon _{t-1}+u_{t}$
- 由于误差项仅依赖于前一个误差项，因此这被称为一阶自回归。
N 阶自回归过程，**AR(n)**: $\epsilon _{t}=\rho _{1}\epsilon _{t-1}+\rho _{2}\epsilon _{t-2}+\cdots +\rho _{n}\epsilon _{t-n}+u_{t}$

移动平均模型

符号 MA(q) 指的是q 阶移动平均模型

X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,

其中 θ₁, ..., θ_q 是模型的参数，μ 是 $X_{t}$ 的期望值（通常假设等于 0），而 $\varepsilon _{t}$ ， $\varepsilon _{t-1}$ ，... 再次是白噪声误差项。移动平均模型本质上是一个具有附加解释的有限脉冲响应滤波器。

自回归移动平均模型

ARMA(p, q) 表示法是指具有 p 个自回归项和 q 个移动平均项的模型。该模型包含 AR(p) 和 MA(q) 模型，

X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,

自相关的原因

空间自相关

$corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})\neq 0$ 空间自相关发生在两个误差在空间和/或地理上相关时。简单来说，它们是“彼此相邻的”。**示例：**圣保罗市发生犯罪飙升，因此他们雇佣了额外的警力。第二年，他们发现犯罪率大幅下降。令人惊讶的是，在同一时期，没有调整警力的明尼阿波利斯市却发现其犯罪率有所上升。

注意：这种类型的自相关发生在横截面样本中。

惯性/调整时间
1. 这经常发生在宏观时间序列数据中。美国利率意外上升，因此与其他国家/地区的汇率也发生了相应的变化。达到新的均衡可能需要一些时间。
持久影响
1. 这仍然是一个宏观时间序列问题，涉及经济冲击。现在预计美国利率会上升。## 相关汇率将缓慢调整，直到美联储宣布，并且可能会超过均衡水平。
数据平滑/操纵
1. 使用函数平滑数据将使自相关进入扰动项。
错误指定
1. 当存在遗漏变量时，回归通常会显示自相关的迹象。由于缺失的独立变量现在存在于扰动项中，我们得到一个看起来像 $\epsilon _{t}=\beta _{2}X_{2}+u_{t}$ 的扰动项，而正确的指定是 $Y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}+u_{t}$

自相关的后果

自相关的主要问题是它可能使模型看起来比实际情况更好。

后果列表

系数仍然是无偏的 $E(\epsilon _{t})=0,cov(X_{t},u_{t})=0$
${\hat {\beta }}$ 的真实方差会因自相关的存在而增加。
${\hat {\beta }}$ 的估计方差由于自相关而变小（向下偏差）。
当 $se({\hat {\beta }})$ 减小，而t统计量增加时，这会导致估计量看起来比实际更准确。
R² 会被高估。

所有这些问题会导致假设检验失效。

自相关检验

虽然不具有决定性，但可以通过查看因变量与误差项的图形（即残差散点图）来获得一些印象。
德宾-沃森检验
1. 假设 $\epsilon _{t}=\epsilon _{t-1}\rho +u_{t}$
2. 检验 H(0)：ρ = 0（无 AC）与 H(1)：ρ > 0（单尾检验）
3. 检验统计量 $DW={\frac {\sum (\epsilon _{t}-\epsilon _{t-1})^{2}}{\sum \epsilon ^{2}}}=2-2\rho$

任何低于 D(L) 的值（在 D-W 表中）都会拒绝零假设，并且存在 AC。
任何介于 D(L) 和 D(W) 之间的值都不会让我们得出关于 AC 的结论。
任何大于 D(W) 的值都会接受零假设，并且不存在 AC。

注意，这是一个单尾检验。要获取另一个尾部。使用 4 - DW 作为检验统计量。