计量经济学理论/求和与乘积运算符

为了对一系列变量$x$求和，使用希腊大写字母sigma Σ

$\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$.

关于求和运算符Σ有一些性质

1. $\Sigma _{i=1}^{n}k=nk$，其中k为常数。

2. $\Sigma _{i=1}^{n}kx_{i}=k\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}$，其中k为常数。

3. $\Sigma _{i=1}^{n}(a+bx_{i})=na+b\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}$，其中a和b为常数。这是根据上面规则1和2得出的结果。

4. $\Sigma _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})=\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}+\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}$，

双重求和运算符用于对同一变量进行两次求和

${\begin{aligned}\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}x_{ij}&=\Sigma _{i=1}^{n}(x_{i1}+x_{i2}+\ldots +x_{im})\\&=(x_{11}+x_{21}+\ldots +x_{n1})+(x_{12}+x_{22}+\ldots +x_{n2})+\ldots +(x_{1m}+x_{2m}+\ldots +x_{nm})\\\end{aligned}}$

双重求和运算符具有以下性质

1. $\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}x_{ij}=\Sigma _{j=1}^{m}\Sigma _{i=1}^{n}x_{ij}$。求和符号的顺序是可以互换的。

2. $\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}=\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\Sigma _{j=1}^{m}y_{j}$。

3. $\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}(x_{i}+y_{j})=\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\Sigma _{j=1}^{m}x_{i}j+\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\Sigma _{j=1}^{m}y_{ij}$。

4. ${\begin{aligned}\left[\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\right]^{2}&=\Sigma _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}+2\Sigma _{i=1}^{n-1}\Sigma _{j=i+1}^{n}x_{i}x_{j}\\&=\Sigma _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}+2\Sigma _{i<j}x_{i}x_{j}\\\end{aligned}}$。

最后，乘积算符 Π 定义为：$\Pi _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}$。

参考文献

• Gujarati, D.N. (2003). 基本计量经济学，国际版 - 第4版. McGraw-Hill Higher Education. pp. 869–870. ISBN 0-07-112342-3.