t检验涉及计算t统计量，然后将其与给定显著性水平的t分布的临界值进行比较。
t检验本质上是一个变量的Z统计量除以一个独立的卡方分布的平方根，该分布除以它自己的自由度。结果值是与卡方分布具有相同自由度的t统计量。
t = Z V / m ∼ t [ m ] {\displaystyle t={\frac {Z}{\sqrt {V/m}}}\sim t[m]}
因此， β 1 {\displaystyle \beta _{1}} 的t统计量将是
Z ( β 1 ^ ) = β 1 ^ − β 1 s e ( β 1 ^ ) = ( β 1 ^ − β 1 ) ( ∑ X i 2 ) 1 / 2 σ {\displaystyle Z({\hat {\beta _{1}}})={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{se({\hat {\beta _{1}}})}}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})(\sum X_{i}^{2})^{1}/2}{\sigma }}}
我们知道（作为 CLRM 的最后一个假设的含义） ( N − 2 ) σ 2 ^ σ 2 ∼ χ 2 [ N − 2 ] {\displaystyle {\frac {(N-2){\hat {\sigma ^{2}}}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}[N-2]}
因此， σ 2 ^ σ 2 ∼ χ 2 [ N − 2 ] [ N − 2 ] ⇒ χ 2 [ N − 2 [ N − 2 ] ∼ σ ^ σ {\displaystyle {\frac {\hat {\sigma ^{2}}}{\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\chi ^{2}[N-2]}{[N-2]}}\Rightarrow {\sqrt {\frac {\chi ^{2}[N-2}{[N-2]}}}\sim {\frac {\hat {\sigma }}{\sigma }}}
因此，将它们放在一起，我们得到：
t ( β 1 ^ ) = Z ( β 1 ^ ) σ ^ / σ = ( β 1 − β 1 ^ ) ( ∑ X i 2 ) 1 / 2 / σ σ 2 / σ = β 1 ^ − β 1 σ ^ / ( ∑ X i 2 ) 1 / 2 = β 1 ^ − β 1 s e ^ ( β 1 ^ ) ∼ t [ N − 2 ] {\displaystyle t({\hat {\beta _{1}}})={\frac {Z({\hat {\beta _{1}}})}{{\hat {\sigma }}/\sigma }}={\frac {({\hat {\beta _{1}-\beta _{1}}})(\sum X_{i}^{2})^{1/2}/\sigma }{\sigma ^{2}/\sigma }}={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{{\hat {\sigma }}/(\sum X_{i}^{2})^{1/2}}}={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{{\hat {se}}({\hat {\beta _{1}}})}}\sim t[N-2]}
![{\displaystyle t={\frac {Z}{\sqrt {V/m}}}\sim t[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526ae4f0390ed2bf9f6c7a870650562dc0e20b26)
的t统计量将是
![{\displaystyle {\frac {(N-2){\hat {\sigma ^{2}}}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}[N-2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df198978c9e4770d17468d7c6bf63720c4a7bdc2)
![{\displaystyle {\frac {\hat {\sigma ^{2}}}{\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\chi ^{2}[N-2]}{[N-2]}}\Rightarrow {\sqrt {\frac {\chi ^{2}[N-2}{[N-2]}}}\sim {\frac {\hat {\sigma }}{\sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1c867a46d6e3a01344f827485bd90e14ed3f0b)
![{\displaystyle t({\hat {\beta _{1}}})={\frac {Z({\hat {\beta _{1}}})}{{\hat {\sigma }}/\sigma }}={\frac {({\hat {\beta _{1}-\beta _{1}}})(\sum X_{i}^{2})^{1/2}/\sigma }{\sigma ^{2}/\sigma }}={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{{\hat {\sigma }}/(\sum X_{i}^{2})^{1/2}}}={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{{\hat {se}}({\hat {\beta _{1}}})}}\sim t[N-2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c893f1a410214abee7d5449d595e0fe109dfc3a0)
