计量经济学理论/t检验

t检验涉及计算t统计量，然后将其与给定显著性水平的t分布的临界值进行比较。

t检验本质上是一个变量的Z统计量除以一个独立的卡方分布的平方根，该分布除以它自己的自由度。结果值是与卡方分布具有相同自由度的t统计量。

$t={\frac {Z}{\sqrt {V/m}}}\sim t[m]$

因此，$\beta _{1}$的t统计量将是

• 分子

$Z({\hat {\beta _{1}}})={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{se({\hat {\beta _{1}}})}}={\frac {({\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1})(\sum X_{i}^{2})^{1}/2}{\sigma }}$

• 分母

我们知道（作为 CLRM 的最后一个假设的含义）${\frac {(N-2){\hat {\sigma ^{2}}}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}[N-2]$

因此，${\frac {\hat {\sigma ^{2}}}{\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\chi ^{2}[N-2]}{[N-2]}}\Rightarrow {\sqrt {\frac {\chi ^{2}[N-2}{[N-2]}}}\sim {\frac {\hat {\sigma }}{\sigma }}$

因此，将它们放在一起，我们得到：

$t({\hat {\beta _{1}}})={\frac {Z({\hat {\beta _{1}}})}{{\hat {\sigma }}/\sigma }}={\frac {({\hat {\beta _{1}-\beta _{1}}})(\sum X_{i}^{2})^{1/2}/\sigma }{\sigma ^{2}/\sigma }}={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{{\hat {\sigma }}/(\sum X_{i}^{2})^{1/2}}}={\frac {{\hat {\beta _{1}}}-\beta _{1}}{{\hat {se}}({\hat {\beta _{1}}})}}\sim t[N-2]$

笔记

• $se({\hat {\beta _{1}}})={\frac {\sigma }{(\sum X_{i}^{2})^{1/2}}}$
• ${\hat {se}}({\hat {\beta _{1}}})={\frac {\hat {\sigma }}{(\sum X_{i}^{2})^{1/2}}}$