电动力学/安培定律

电动力学

在物理学中，安培环路定律，由安德烈-玛丽·安培发现，将闭合回路中的循环磁场与其穿过回路的电流联系起来。它是高斯定律的磁学等价物。

安培环路定律的原始形式

在它的原始形式中，安培环路定律将磁场 $\mathbf {B}$ 与它的源头，电流密度 $\mathbf {J}$ 联系起来。

[安培定律]

\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =I_{\mathrm {enc} }

其中

\oint _{C}

是围绕轮廓（闭合曲线）C 的闭合线积分。

\mathbf {H}

是以安培/米为单位的磁场。

\mathrm {d} \mathbf {l}

是轮廓C 的微小元素（微分），

\mathbf {J}

是穿过由轮廓C 包围的表面S 的电流密度（以安培/平方米为单位）

\mathrm {d} \mathbf {S} \!\

是表面S 的微分矢量面积元素，具有无限小的幅度，方向垂直于表面S，

I_{\mathrm {enc} }\!\

是曲线C 包围的电流，或者更确切地说，是穿透表面S 的电流。

等效地，原始方程的微分形式为

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J}

在线性介质中，磁场 $\mathbf {H}$ 与磁通密度 $\mathbf {B}$ （以特斯拉为单位）的关系为

\mathbf {B} \ =\ \mu \mathbf {H}

其中 $\mu \!\$ 是介质的磁导率（以亨利/米为单位），根据定义，在自由空间中为 $4\pi \times 10^{-7}$ 。

右手螺旋定则是一个用来可视化磁场方向的记忆术，该磁场 $\mathbf {B}$ 环绕着电流密度 $\mathbf {J}$ .

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将位移电流概念化为介质涡旋海中的极化电流，他用它来对磁场进行流体力学和力学建模。他在 1861 年的论文论物理力线中的第 (112) 式中将这种位移电流添加到安培环路定律中。

由麦克斯韦修正的广义定律采取以下积分形式

[安培-麦克斯韦定律]

\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

其中在线性介质中

\mathbf {D} \ =\ \varepsilon \mathbf {E}

是位移通量密度（以库仑每平方米为单位）。

这个 *安培-麦克斯韦定律* 也可以用微分形式表示

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

其中第二项来自位移电流。

通过添加位移电流，麦克斯韦能够假设（正确地）光是一种电磁波。参见电磁波方程以了解有关这一重要发现的讨论。我们将在后面的章节中讨论麦克斯韦的所有定律。

安培定律在磁学中的地位相当于高斯定律在电学中的地位。它稍微复杂一些，在掌握它之前，您应该先了解高斯定律。

想象一根有电流流过的导线，右手螺旋定则说，会有一条磁场线绕着导线旋转，就像你将拇指指向传统电流的方向时，其他手指的指向一样。

您可以预测，磁场线将按比例旋转，旋转的大小与电流成正比。安培定律将告诉您如何计算它。

想象一根无限长的导线垂直于纸面向内，流过电流 **I**。**毕奥-萨伐尔定律** 指出，无限长导线产生的磁场为

B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi s}}

现在沿着导线逆时针方向，在圆形路径 *l* 上对 B 进行积分

{\begin{matrix}\oint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} &=&\oint {\frac {\mu _{0}I}{2\pi s}}dl\\\\\ &=&{\frac {\mu _{0}I}{2\pi s}}\oint dl\\\\\ &=&\mu _{0}I_{Enc}\end{matrix}}

上面是安培定律的积分形式，像高斯定律一样，安培定律也有微分形式。

\oint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}I_{Enc}

现在将 J 视为体积电流密度，并使用斯托克斯定理，我们得到

\int (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {a} =\mu _{0}\int \mathbf {J} \cdot d\mathbf {a}

因此

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$

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