线性代数/向量

向量通常用在物理学和其他领域来表示无法用标量准确描述的量。标量只是一个单维度的值——一个实数。例如，可以这么说，他们已经行驶了 5 公里，一个小时已经过去了，或者某物的质量是 20 公斤。在所有这些情况下，都只说明了一个值。

但是，我们可能还有更多信息想要提供。以行驶 5 公里为例。在这种情况下，知道你行驶了多远可能很有用，但知道你行驶了哪个方向也可能同样重要，例如正东方向行驶 5 公里。现在，根据你的起点，就可以确定你确切行驶到了哪里。

定义

可以使用三角学来用数学方法描述向量。

我们可以将向量定义为由大小和方向组成的有序对。在这个图中，r 是该向量的大小，θ 是方向。注意，现在，我们已经水平移动了r cos(θ)，垂直移动了r sin(θ)。它们分别被称为x分量和y分量。

我们也可以用 x 和 y 分量方便地写出一个向量。我们用${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$来表示向量。在某些文本中，你可能会看到向量被横向写成 (x, y)，但当你写的时候，将它们向下写成列的形式会有很大的帮助。在印刷中，我们通常使用粗体向量，但由于你可能没有使用粗体字体的笔，因此请在你的向量下划线，即写v，或在你的向量下面加一个波浪线。在物理学中，你偶尔可能会看到向量用一个向右的箭头表示。

注意，向量不一定只有两个分量。我们可能有 2 个、3 个或n 个，甚至无限多个分量。

我们将所有具有 2 个实数分量的向量集合写为R²；对于 3 个、n 个或无限多个分量也是如此。对于具有复数分量的向量，我们写为C。多项式也是“向量”——我们将在后面查看多项式集合的表示法。关于我们这样做的原因，请参阅集合论以获得解释。

拉伸和收缩

我们可以定义一些对向量的操作。如果我们延长向量会发生什么？或者如果我们缩短向量会发生什么？向量的方向不会改变，只有它的长度——它的大小。我们执行拉伸或收缩向量的操作是将它的大小乘以某个量。我们将此称为标量乘法：我们将向量乘以一个标量实数。

标量乘法

对于标量乘法，我们只需将每个分量乘以标量即可。我们通常用希腊字母表示标量，用英文字母表示向量。

因此，对于标量值为 λ 和由r 和 θ 定义的向量v，新向量现在是 λr 和 θ。注意方向没有改变。

示例

假设我们有${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$，我们希望将大小翻倍。所以，$2{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$.

向量的加法

简单来说，要添加两个向量，你必须将它们各自的 x 分量加在一起以获得新的 x 分量，同样地将两个 y 分量加在一起以获得新的 y 分量。

示例

假设我们有 $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$，我们希望将它们加起来。因此，$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}$。

向量减法

两个向量 a 和 b 的减法运算 a-b，也可以写成 a+(-1)b。因此，我们可以使用标量乘法来求 (-1)b 的值，然后使用向量加法来求解。

复数作为向量

^ 复数 可以用 $r(cos(\theta )+isin(\theta ))$ 或等效地 $re^{i\theta }$ 的形式表示，换句话说，就是大小为 $r$ 方向为 $\theta$ 的向量。在复平面中，该向量具有一个实数 x 分量和一个虚数 y 分量。有关更多信息，请参见 复数。

直线和平面

我们可以使用向量来形成直线和平面的方程。让我们看看如何做到这一点。

直线的向量方程

考虑向量 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$。让我们考虑以下情况

$2\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

$-\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

$3\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$

如果我们有方程 λv，很明显，对于我们选择的每个 λ，我们都会在直线 y=2x 上得到一个不同的点。

现在，我们可以将此想法推广到直线的向量方程（并且它也不限于二维）。

直线的向量方程由下式给出

x=λv（对于标量 λ）

其中 v 是平行于（然后可能位于）直线上的向量。λ 然后是方程中的未知数。x 然后是因变量向量。

平面的向量方程

现在考虑一个平面。如果我们有两个不平行的向量位于平面上，并且我们将它们加起来，我们可以添加一个线性组合（即，将两个向量相加，这两个向量只乘以标量）来选择另一个向量。这两个向量的线性组合下所有向量的集合形成一个平面。

更简单地说，如果我们有两个不平行的向量 a 和 b，我们可以通过以下方式形成任何其他平行于 a 和 b 的向量

λ₁a+λ₂b=x

其中 λ₁ 和 λ₂ 都是标量。

向量的进一步代数和几何

我们还可以对向量执行其他运算。我们将考虑的这些运算具有非常真实且重要的几何意义。

大小

向量的大小是它在 R⁺ 中的长度

点积

两个向量的点积定义为它们的对应分量的乘积之和。符号上我们写成

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}$

例如，

${\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}=3-10=-7$

点积的性质

如果我们有两个向量a 和 b，

a · b = b · a

c(a · b) = ca·b = a·cb

其中c 是一个标量。

点积的几何意义

两个向量的点积有一个替代形式

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos {\theta }$

如果我们选取一个向量c=a-b 来构成一个三角形，我们可以用三角函数证明这两种形式是等价的。

因此，角度 θ 非常重要，因为它表明两个向量的点积与它们之间的夹角有关。更具体地说，我们可以计算两个向量的点积 - 如果点积为零，那么我们可以说这两个向量是垂直的。

例如，简单地考虑

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=1-1=0$

将这些向量绘制在平面上，并自行验证这些向量是垂直的。

叉积

叉积是一个更复杂的乘积定义，但它具有良好的几何性质。我们只研究三维空间中的叉积，因为它是三维空间中最常用的，并且在更高维空间中难以定义。

对于一个具有三个分量的向量，叉积被定义为

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

其中

$\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

如果你之前没有接触过矩阵，这里有一个公式来计算以上内容...

= i $(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})$ - j$(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})$+ k $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

向量叉积的性质

向量叉积有一些性质

a×b = -b×a

从上面的定义可以很容易地验证这一点，并且

c×(a+b) = c×a+c×b

向量叉积的几何性质

向量叉积有一些有趣的几何性质。

如果a和b是两个向量，a×b是垂直于这两者的向量。现在如果我们有两个向量，我们就有两个垂直于a和b的向量选择 - 如果我们交换叉积的顺序，我们将得到另一个向量。

两个向量叉积的大小是这两个向量形成的平行四边形的面积。

标量三重积，a·(b×c) 是这三个向量形成的平行六面体的体积。

参见

• 维基百科上的向量