电动力学/洛伦兹变换

场和力

电磁场产生的力是我们实际测量电磁现象的主要方面。这些矢量量与标量势和矢量势的关系如下

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

E 是电场矢量，B 是磁场矢量。由于这些方程，电场常被称为“E 场”，磁场常被称为“B 场”。本书可能使用这两种符号中的任何一种。

洛伦兹方程

通过将这些方程与规范理论中力的通用表达式进行比较，我们发现作用在电荷为q的粒子上的电磁力为

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$

其中v 是粒子的速度。由于历史原因，它被称为洛伦兹力。

相对论

简而言之，相对论是对参考系的学习。参考系是一个固定的坐标系，根据它进行局部测量。考虑两个观察者的常见例子：观察者 A 位于一辆运动的火车上，观察者 B 站在田野里观察火车。以下是两位观察者所看到的：

观察者 A

观察者 A 看见火车是静止的，而田野是运动的。

观察者 B

观察者 B 看见田野是静止的，而火车是运动的。

这两位观察者本质上都是其自身坐标系的原点。显然，这两个坐标系可以通过某种变换相互关联，即观察者 A 可以看到的东西可以转换成根据观察者 B 的坐标，反之亦然。

在线性代数中，一个坐标系有一个基，这是一个小的单位向量集，可以用来描述该系统中的所有点。如果我们能够关联观察者 A 和观察者 B 的基向量，那么我们就可以将任何一个系统中的点关联到另一个系统。

因为基向量是向量（秩为 1 的张量），所以它们之间的变换通常是矩阵（秩为 2 的张量）。

狭义相对论基于这样一个思想，即物理定律在所有惯性参考系中都是相同的，并且光速c是一个常数，与参考系无关。如果一个方程在对其应用洛伦兹变换时满足这些要求，则称该方程是“在洛伦兹变换下不变的”。我们将看到，洛伦兹不变性要求在电动力学中是重要的。

另一个主题，广义相对论，将相对论的数学思想扩展到非惯性系。本书不会讨论广义相对论主题。

洛伦兹变换

我们很容易但天真地只考虑 3 个基向量。这些向量，空间向量，可以毫无疑问地被称为“X”、“Y”和“Z”。然而，爱因斯坦关于相对论的著作中的一个重要结果是，时间也取决于参考系，因此我们需要同时考虑空间中的所有点（X、Y 和 Z 向量）以及时间（T 向量）。我们所有的向量都具有长度为 4 的长度，并且我们的变换矩阵必须是 4×4 矩阵。一个使用三个空间坐标和 1 个时间坐标的 4×4 变换矩阵被称为洛伦兹变换矩阵，或简称为“洛伦兹变换”。

如果我们有两个坐标系，(X, Y, Z, T) 和 (X', Y', Z', T')，并且它们是非惯性系，我们可以使用L 变换函数将这两个系关联起来

$X'=L_{X}(X)$

$Y'=L_{Y}(Y)$

$Z'=L_{Z}(Z)$

$T'=L_{T}(T)$

现在，如果每个元素 X'、Y'、Z' 和 T' 与 X、Y、Z 和 T 线性相关，我们就可以将 L 转换为矩阵

${\begin{bmatrix}X'\\Y'\\Z'\\T'\end{bmatrix}}=\mathbf {L} {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\T\end{bmatrix}}$

从这个等式我们可以看到，如果我们要对一个坐标系应用洛伦兹变换，坐标必须指定为长度为 4 的向量。我们将所有长度为 4 的向量称为“四维向量”。我们将在后面的章节中讨论四维向量。

惯性系和非惯性系

惯性系是指没有净加速度的参考系。考虑上面两个观察者的例子，观察者 A 和观察者 B。观察者 A 在一辆火车上，观察者 B 从远处观察这列火车。如果火车以恒定的速度直线行驶，那么这两个参考系就是惯性系。但是，如果火车正在加速或减速，或者火车没有直线行驶，那么这两个参考系就是非惯性系。

惯性系的研究领域被称为狭义相对论。非惯性系的研究领域被称为广义相对论。在这本书中，我们将只考虑狭义相对论。

欧姆定律

欧姆定律的连续形式只在导电材料的参考系中有效。如果材料相对于磁场B以速度v运动，则必须添加一项，如下所示

$\mathbf {J} =\sigma \cdot \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

与洛伦兹力的类比是显而易见的，事实上欧姆定律可以从洛伦兹力和假设电荷载流子上的阻力与其速度成正比推导出来。