电动力学/向量微积分回顾

此页面将回顾物理学和向量微积分中一些必要的背景信息。在本页中，我们将广泛使用向量场和水流之间的类比，以便您对材料获得直观的理解。

Del 算子

Del 算子，∇ 定义如下

$\nabla ={\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

这个算子，乍一看很让人困惑，但它是向量和标量进行微分的方法。

梯度

当 ∇ 作用于一个标量场时，比如这样

$\nabla \Phi ={\hat {x}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}$

它同时对标量进行所有 3 个轴（x、y、z）的微分。结果被称为标量的“梯度”。梯度是一个向量，它指向原始标量场变化最快的方向（具有最大的导数）。

此外，$\nabla \Phi \cdot {\hat {n}}$ 给出了$\Phi$ 在${\hat {n}}$ 方向上的变化率。因此，梯度的垂直线构成等势面，即$\Phi$ 都相等的表面。

示例 1.1
$F(x,y)=x^{2}-y^{2}$ 的绘图和梯度 函数$F(x,y)=x^{2}-y^{2}$ 和$\nabla F$ 在相关的图表中展示。这里的关键概念是梯度的向量指向$F(x,y)$ 的更高幅度，并且向量表示该向量起点和终点之间的变化率。 如果 $F(x,y)$ 是一个均匀刚性表面，并且一个完美的球体恰好放置在 $F(2,0)$ 上，它将向 $F(-2,0)$ 移动，最终稳定在 $F(0,0)$。在这种情况下，如果 y 始终不为零，那么球最终会从表面上掉下来。

散度

∇ 运算符可以松散地看作一个“向量”，其分量是偏微分运算符。如果我们对向量场执行“点积”运算，我们将得到

$\nabla \cdot A={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

这被称为向量场的“散度”。它衡量了向量从一个点的“发散”程度。它测量向量场的“源”和“汇”。想象一下一池水的速度向量场。水龙头是正散度很大的地方，因为它是水速度场的源头，而水槽（排水沟）是负散度很大的地方，因为这是所有水汇聚的地方。

旋度

如果我们将 ∇ 与向量场进行叉乘，我们将得到另一个重要的运算符

$\nabla \times A={\hat {x}}({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}})+{\hat {y}}({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}})+{\hat {z}}({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})$

得到的向量是原始向量的“旋度”。它测量向量场在一个点的“卷曲”或“旋转”。因此，回到池塘的类比，漩涡将是一个旋度很大的地方。在稳定流中，旋度为 0，因为场不想围绕那个点卷曲。

拉普拉斯算子

上面介绍的梯度 ∇Φ 是一个向量场。如果我们求它的散度会怎样？

$\nabla \cdot \nabla \Phi =\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

这个重要的运算符被称为“拉普拉斯算子”。拉普拉斯算子也定义了向量场

$\nabla ^{2}A={\hat {x}}\nabla ^{2}A_{x}+{\hat {y}}\nabla ^{2}A_{y}+{\hat {z}}\nabla ^{2}A_{z}$

旋度的散度

人们可能还会期望通过取旋度的散度来获得一个重要的算子

$\nabla \cdot (\nabla \times A)={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}})+{\frac {\partial }{\partial y}}({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}})+{\frac {\partial }{\partial z}}({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})=0$

虽然零当然是一个重要的概念，但它没有为我们提供一个有用的算子。然而，这个恒等式本身很有趣。事实证明，每一个无散度的向量场都是另一个向量场的旋度。

梯度的旋度

同样地，

$\nabla \times \nabla \Phi ={\hat {x}}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\partial z}})+{\hat {y}}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\partial z}})+{\hat {z}}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\partial y}})=0$

事实证明，每一个没有旋度的向量场都是一个标量场的梯度。

向量场

向量场是三维空间，其中该空间内的每个点都可以根据某个给定规则分配一个向量大小。重力是向量场的一个例子，其中重力场内的每个点都以某个力大小被拉向中心。向量场由一个三维函数表示，例如A(x, y, z)。每个三元组的函数值是该点向量场的大小。

通量

在谈论向量场时，我们将讨论通量的概念，尤其是电通量。我们可以定义一个给定向量场G(x, y, z)穿过一个微小面积dA的通量，该面积具有一个法向量n

$\operatorname {Flux} (dA,n)=G\cdot ndA$

我们将其读作“穿过dA，在n方向上的通量”。

通量的概念最初来自流体力学。穿过一个小表面的通量是流经它的液体量。如果速度场很大，那么通量自然会很大。此外，如果表面平行于速度场，那么通量为 0，因为没有水流经该区域。事实证明，通量在电动力学中也是一个非常有用的概念。

如果我们对这个方程关于dA积分，我们得到以下结果

$\operatorname {Flux} (A,n)=\int _{A}v\cdot dA$

我们也可以证明（虽然推导过程可能很长），流入或流出一个给定向量场 *G* 的通量可以用该向量场的散度表示。

$\operatorname {NetFlux} =\nabla \cdot G$

假设我们有一个任意体积 *V*，位于向量场 *G* 中，它被一个表面 *S* 围绕，该表面的面积为 *A*。高斯定理指出流入该体积的通量等于流过表面 *S* 的通量。

$\int _{V}(\nabla \cdot G)dV=\int _{S,V}(v\cdot n)dA$

这个公式直观地成立，因为正如我们之前看到的，场的散度表示场从该点扩散的程度。如果我们将体积内每个点的扩散程度加起来，这应该等于从封闭表面流出的通量。无散度的场的任何封闭表面的通量都为 0。

线积分

假设我们有一条路径 $\gamma$，由小的长度元素 $ds$ 组成。向量场 *A* 的线积分表示场在路径上的投影。形式上，它由下式给出

$\int _{\gamma }A\cdot ds$

假设 *A* 是一个无旋场。如上所述，这意味着它可以写成某个场的梯度。假设 $A=\nabla \Phi$。*事实证明，*A* 沿着连接两点的任何路径的线积分都是相同的*。此外，

$\int _{\gamma }A\cdot ds=\Phi (b)-\Phi (a)$

其中 *a* 和 *b* 是路径的起点和终点。此外，沿着这种场的闭合回路的线积分始终为 0。无旋场称为*保守场*。这个术语的来源是力学：在力学中，如果空间中的力场是无旋的，那么你总是可以定义一个势能函数，使得将物体从 *a* 移动到 *b* 所做的功等于势能的差。在这种情况下，机械能是守恒的。

正如我们将看到的，静电场是一个保守场，而磁场和一般的电场则不是。

一般来说，向量场沿着闭合回路的线积分并不为零。然而，事实证明

$\int _{\gamma }F\cdot ds=\int _{A}(\nabla \times F)\cdot dA$。换句话说，向量场的线积分等于该场的旋度在回路上的通量。我们通过哪个表面来求通量？任何表面都可以！回路包围的任何表面都可以。

我们可以这样直观地理解这个定理：闭合回路的线积分就像场绕回路旋转的程度。然而，某一点的旋度表示场围绕该点的旋转程度。因此，整个表面的总积分表示围绕回路的总“旋转”。

散度和旋度

我们已经证明，任意向量 *A* 的散度由下式给出

$\operatorname {Divergence} (A)=\nabla \cdot A$

同样，我们定义了一个称为旋度的操作符，它作用于向量场，定义如下

$\operatorname {Curl} (A)=\nabla \times A$

在电磁学后续章节中，我们将使用散度和旋度。

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