电子学/相量

电子学 | 前言 | 基础电子学 | 复杂电子学 | 电力学 | 电机学 | 电子学历史 | 附录 | 编辑

---

相量

图一：直角坐标表示

图二：极坐标表示

相量提供了一种简单的方法来分析线性电路。相量分析的核心是欧拉公式

$Ae^{j({\omega }t+\theta )}=A\cos({\omega }t+\theta )+jA\sin({\omega }t+\theta )\,$

复指数也可以表示为

$Ae^{j({\omega }t+\theta )}=Ae^{j\theta }\cdot e^{j\omega t}$

${\tilde {A}}=Ae^{j\theta }$被称为相量。它包含了正弦信号幅度和相位的 信息，但不包含频率或时间。这简化了在电路分析中的使用，因为大多数情况下，电路中的所有量都具有相同的频率。（对于具有不同频率的源的电路，必须使用叠加原理。）

相量表示的简写是：${\tilde {A}}=A\angle \theta$

注意，这仅仅是极坐标形式，可以按照（参见图一）将其转换为直角坐标表示

${\tilde {A}}=Ae^{j\theta }=A\angle \theta =A\cos \theta +jA\sin \theta$

反过来可以按照（参见图二）

${\tilde {A}}=X+jY={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle {\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}e^{j\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}}$。让我们了解这个过程是如何工作的，即使相量会导致电路发热，稳定电流在不引起过热的条件下，将会解释其工作原理。根据公式，结果表明，电流使用量保持不变的时间是存在的。

正弦信号

首先，我们必须先了解什么是正弦信号。正弦信号可以表示为

$A\cos({\omega }t+\theta )\!$

其中 A 是幅度，$\omega$ 是以弧度/秒为单位的频率，$\theta$ 是以度为单位的相角（相移）。我们可以通过取欧拉公式的实部来返回正弦信号

$A\cos({\omega }t+\theta )={\mathfrak {Re}}(Ae^{j({\omega }t+\theta )})$

目前，考虑单频电路。每个稳态电流和电压将具有相同的基本形式

${\tilde {A_{i}}}e^{j{\omega }t}$ 其中 ${\tilde {A_{i}}}$ 是一个相量。所以我们可以“除以” $e^{j{\omega }t}\!$ 来得到相量电路方程。我们可以用这些方程来求解某些相量电路量 ${\tilde {Y}}$，乘以 $e^{j{\omega }t}\!$，并转换回正弦形式以找到时域正弦稳态解。

示例

我们有三个频率相同的正弦信号相加

$v(t)=5\cos(200t+30^{\circ })+2\cos(200t+45^{\circ })+\cos(200t-60^{\circ })\!$

用相量表示，它是

${\tilde {V}}=5e^{j30^{\circ }}+2e^{j45^{\circ }}+e^{-j60^{\circ }}=5\angle 30+2\angle 45+\angle -60$

我们可以将这些项组合起来得到一个相量表示。首先通过分离实部和虚部来完成

${\text{X: }}5\cos(30^{\circ })+2\cos(45^{\circ })+\cos(-60^{\circ })\approx 6.2443\!$

${\text{Y: }}5\sin(30^{\circ })+2\sin(45^{\circ })+\sin(-60^{\circ })\approx 3.04819\!$

相量表示可以写成

${\tilde {V}}=6.2443+j3.04819={\sqrt {6.2443^{2}+3.04819^{2}}}\angle {\tan ^{-1}{\frac {3.04819}{6.2443}}}$

${\tilde {V}}=6.94861\angle {26.0194}$

回到时域，我们得到答案

$v(t)=6.94861\cos(200t+26.0194^{\circ })$