电子学/RCL 时域简述

图 1：RCL 电路

当开关闭合时，一个电压阶跃被施加到 RCL 电路。将开关闭合的时间设为 0 秒，这样开关闭合前的电压为 0 伏，闭合后的电压为电压 V。电容两端的电压由一个强迫响应 $v_{f}$ 和一个自然响应 $v_{n}$ 组成，使得

$v_{c}=v_{f}+v_{n}$

强迫响应是由开关闭合引起的，对于 $t\geq 0$，其值为电压 V。自然响应取决于电路参数，如下所示。

定义极点频率 $\omega _{n}$ 和阻尼系数 $\alpha$ 为

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

$\omega _{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

根据 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值，系统可以被描述为

1. 如果 $\alpha >\omega _{n}$，系统被称为 **过阻尼**。系统的解形式为

$v_{n}(t)=A_{1}e^{{\big (}-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{n}^{2}}}{\big )}t}+A_{2}e^{{\big (}-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{n}^{2}}}{\big )}t}$

2. 如果 $\alpha =\omega _{n}$，系统被称为 **临界阻尼**。系统的解形式为

$v_{n}(t)=Be^{-\alpha t}$

3. 如果 $\alpha <\omega _{n}$，则该系统被称为 **欠阻尼**。系统的解具有以下形式：

$v_{n}(t)=e^{-\alpha t}{\big [}B_{1}\cos({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t)+B_{2}\sin({\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}t){\big ]}$

这些方程是如何计算的？

示例

给定以下值，当开关闭合时，系统的响应是什么？

R	L	C	V
1kΩ	0.5H	100nF	1V

首先计算 $\alpha$ 和 $\omega _{n}$ 的值。

$\alpha ={\frac {R}{2L}}=1000$

$\omega _{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\approx 4472$

从这些值中可以看出，$\alpha <\omega _{n}$。因此，该系统为 **欠阻尼**。电容器两端的电压方程为：

$v_{c}(t)=1+e^{-1000t}{\big [}B_{1}\cos(4359t)+B_{2}\sin(4359t){\big ]}$

在开关闭合之前，假设电容器完全放电。这意味着开关闭合的瞬间（t=0）时，v(t)=0。将 t=0 代入上述方程得到：

$0=1+B_{1}$

因此，$B_{1}=-1$。类似地，在开关闭合的瞬间，电感器中的电流必须为零，因为电流不能瞬时变化。将 $v_{c}(t)$ 的方程代入电感器方程，并在开关闭合的瞬间（t=0）求解，得到：

$i(t)={\frac {dv_{c}(t)}{dt}}C$
$0=100\cdot 10^{-9}{\big [}4359B_{2}-1000B_{1}{\big ]}$

因此 $B_{2}\approx -0.229$。一旦 $v_{c}(t)$ 已知，电感器和电阻器上的电压（$V_{out}$）由下式给出

$v_{out}=e^{-1000t}{\big [}\cos(4359t)+0.229\sin(4359t){\big ]}$

您遗漏了很多步骤，它们在哪里？

图 2：欠阻尼响应

文件：Example1 underdamped.png