电子学/RC 瞬态

对于一个由一个电阻器和一个电容器串联组成的闭环 RC 电路。

电路阻抗

极坐标形式 Z/_θ

Z=R\angle 0+{\frac {1}{\omega C}}\angle -90

Z=|Z|\angle \theta ={\sqrt {R^{2}+({\frac {1}{\omega C}})^{2}}}\angle Tan^{-}1{\frac {1}{\omega RC}}

复数形式 Z(jω)

Z=Z_{R}+Z_{C}=R+{\frac {1}{j\omega C}}={\frac {1}{j\omega C}}(1+j\omega RC)

T = RC

C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0

{\frac {dV}{dt}}=-{\frac {1}{RC}}V

{\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt

\int {\frac {1}{V}}dV=-\int {\frac {1}{RC}}dt

\ln V=-{\frac {1}{RC}}t+C

V=e^{(}{\frac {-t}{RC}}+C)=e^{C}\cdot e^{\frac {-t}{RC}}

V=Ae^{\left({\frac {-t}{RC}}\right)}=Ae^{\left({\frac {-t}{T}}\right)}

T = R C

电流在一定角度上领先电压；这是否意味着测量直流电流的角度会导致电流减小？让我们花点时间来理解之前在确定正弦解的因子方面的数学知识。

Tan\theta ={\frac {1}{\omega RC}}={\frac {1}{f}}{\frac {1}{2\pi RC}}=t{\frac {1}{2\pi RC}}

改变R和C的值将改变角度差、角频率、频率和时间的值。

\omega ={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}

f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}

t=2\pi RCTan\theta

u

当开关打开时，电容器上的初始电压为零。当开关闭合时（我们将其称为时间零），电容器通过电阻器充电至 $V_{0}$ .

当开关闭合时，电路必须遵循以下关系

V_{0}=v_{c}(t)+i_{c}(t)R

V_{0}=v_{c}(t)+{\frac {dv_{c}(t)}{dt}}RC

这是通过使用基尔霍夫电压定律分析电路推导出来的。

令 $\tau =RC$ 并重新排列方程

{\frac {dv_{c}(t)}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}v_{c}(t)={\frac {1}{\tau }}V_{0}

这是一个一阶线性微分方程，其积分因子为

e^{\int {\frac {1}{\tau }}dt}

e^{\frac {t}{\tau }}

将两边乘以积分因子

{\frac {dv_{c}(t)}{dt}}e^{\frac {t}{\tau }}+{\frac {1}{\tau }}v_{c}(t)e^{\frac {t}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}V_{0}e^{\frac {t}{\tau }}

注意

{\frac {d}{dt}}[e^{t/\tau }v_{c}(t)]={\frac {dv_{c}(t)}{dt}}e^{\frac {t}{\tau }}+{\frac {1}{\tau }}v_{c}(t)e^{\frac {t}{\tau }}

代入并对两边积分

e^{\frac {t}{\tau }}v_{c}(t)=V_{0}e^{\frac {t}{\tau }}+K

其中 K 是积分常数。

当 t=0 时

v_{c}(0)=0

因此

K=-V_{0}

当 t>0 时，得到

e^{\frac {t}{\tau }}v_{c}(t)=V_{0}e^{\frac {t}{\tau }}-V_{0}

v_{c}(t)=V_{0}-V_{0}e^{-{\frac {t}{\tau }}}

v_{c}(t)=V_{0}(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})

当 t<0 时

v_{c}(t)=0