考虑一个系统 A 的矩阵表示与系统的实际实现相差 ΔA 的情况。换句话说,我们的系统使用矩阵
从控制系统的研究中,我们知道特征向量的值会影响系统的稳定性。因此,我们想知道 A 中的小误差将如何影响特征值。
首先,我们假设 ΔA 是一个小的变化。这种意义上的“小”是任意的,并将保持开放。请记住,这里讨论的技术越小 ΔA 越准确。
如果 ΔA 是矩阵 A 中的误差,那么 Δλ 是特征值中的误差,而 Δv 是特征向量中的误差。特征方程变为
我们现在有一个有两个未知数的方程:Δλ 和 Δv。换句话说,我们不知道 A 的微小变化将如何影响特征值和特征向量。如果我们将两边展开,我们得到
这种情况似乎毫无希望,直到我们从左边乘以相应的左特征向量 w
对于两个 Δ(根据定义,已知很小)相乘的项,我们可以说它们可以忽略不计,并忽略它们。此外,我们从右特征值方程知道
另一个事实是,右特征向量和左特征向量彼此正交,因此以下结果成立
将这些结果(必要时)代入我们上面的长方程,我们得到以下简化
求解特征值的变化,我们得到
此近似结果仅适用于 ΔA 的小值,并且随着误差增加,结果的精度会降低。