工程分析/误差估计

考虑一个系统 A 的矩阵表示与系统的实际实现相差 ΔA 的情况。换句话说，我们的系统使用矩阵

$A+\Delta A$

从控制系统的研究中，我们知道特征向量的值会影响系统的稳定性。因此，我们想知道 A 中的小误差将如何影响特征值。

首先，我们假设 ΔA 是一个小的变化。这种意义上的“小”是任意的，并将保持开放。请记住，这里讨论的技术越小 ΔA 越准确。

如果 ΔA 是矩阵 A 中的误差，那么 Δλ 是特征值中的误差，而 Δv 是特征向量中的误差。特征方程变为

$(A+\Delta A)(v+\Delta v)=(\lambda +\Delta \lambda )(v+\Delta v)$

我们现在有一个有两个未知数的方程：Δλ 和 Δv。换句话说，我们不知道 A 的微小变化将如何影响特征值和特征向量。如果我们将两边展开，我们得到

$Av+\Delta Av+A\Delta v+O(\Delta ^{2})=\lambda v+\Delta \lambda v+v\Delta \lambda +O(\Delta ^{2})$

这种情况似乎毫无希望，直到我们从左边乘以相应的左特征向量 w

$w^{T}Av+w^{T}\Delta Av+w^{T}v\Delta A=w^{T}\lambda v+w^{T}\Delta \lambda v+w^{T}v\Delta \lambda +O(\Delta ^{2})$

对于两个 Δ（根据定义，已知很小）相乘的项，我们可以说它们可以忽略不计，并忽略它们。此外，我们从右特征值方程知道

$w^{T}A=\lambda w^{T}$

另一个事实是，右特征向量和左特征向量彼此正交，因此以下结果成立

$w^{T}v=0$

将这些结果（必要时）代入我们上面的长方程，我们得到以下简化

$w^{T}\Delta Av=\Delta \lambda w^{T}\Delta v$

求解特征值的变化，我们得到

$\Delta \lambda ={\frac {w^{T}\Delta Av}{w^{T}\Delta v}}$

此近似结果仅适用于 ΔA 的小值，并且随着误差增加，结果的精度会降低。