工程分析/L2 空间

L₂ 空间对于工程师来说非常重要，因为在这个空间中的函数不需要是连续的。许多不连续的工程函数，例如狄拉克 (脉冲) 函数、单位阶跃函数以及其他不连续函数，都属于这个空间。

L2 函数

许多函数都属于 L₂ 函数，包括不常见的、不连续的、分段的以及其他函数。在有限范围内具有有限数量的不连续点的函数就是 L₂ 函数。例如，单位阶跃函数和脉冲函数都是 L₂ 函数。此外，在信号分析中其他有用的函数，如方波、三角波、小波以及其他函数，也都是 L₂ 函数。

在实际应用中，大多数物理系统都会存在有限数量的噪声。噪声信号和随机信号，如果它们是有限的，也是 L₂ 函数：这使得使用下面列出的技术分析这些函数变得容易。

零函数

L₂ 的零函数是 L₂ 中所有满足以下方程的函数 φ 的集合

$\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx=0$

对于所有 a 和 b。

范数

L₂ 范数定义如下

[L2 范数]

$\|f(x)\|_{L_{2}}={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}dx}}$

如果函数的范数为 1，则该函数是标准化的。

我们可以证明范数平方的导数为

${\frac {\partial \|x\|^{2}}{\partial x}}=2x$

标量积

L₂ 空间中的标量积定义如下

[L2 标量积]

$\langle f(x),g(x)\rangle _{L_{2}}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx$

如果两个函数的标量积为零，则这两个函数是正交的。

我们可以证明，给定系数矩阵 A 和 B 以及变量 x，标量积的导数可以表示为

${\frac {\partial }{\partial x}}\langle Ax,Bx\rangle =A^{T}Bx+B^{T}Ax$

我们可以将其识别为微分的乘积法则。推广而言，我们可以说

${\frac {\partial }{\partial x}}\langle f(x),g(x)\rangle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

我们还可以说矩阵 A 乘以向量 x 的导数为

${\frac {d}{dx}}Ax=A^{T}$

度量

两个函数的度量（我们在这里不会将其称为“距离”，因为这个词在函数空间中没有意义）将用 ρ(x,y) 表示。我们可以将 L₂ 函数的度量定义如下

[L2 度量]

$\rho (x,y)_{L_{2}}={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{2}dx}}$

柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式对L₂ 函数仍然成立，这里重新陈述一下：

$|\langle f(x),g(x)\rangle |\leq \|f\|\|g\|$

线性无关

如果L₂ 中的一组函数满足

$a_{1}f_{1}(x)+a_{2}f_{2}(x)+\cdots +a_{n}f_{n}(x)=0$

当且仅当所有a 系数为0 时，它们才是线性无关的。

格拉姆-施密特正交化

我们之前讨论过的格拉姆-施密特方法仍然适用于函数，我们可以用它在L₂ 中构造一组线性无关的正交函数。

对于一组函数 φ，我们可以构造一组正交函数 ψ，它们张成相同的空间，但彼此正交。

[格拉姆-施密特正交化]

$\psi _{1}=\phi _{1}$

$\psi _{i}=\phi _{i}-\sum _{n=1}^{i-1}{\frac {\langle \psi _{n},\phi _{i}\rangle }{\langle \psi _{n},\psi _{n}\rangle }}\psi _{n}$

基底

L₂ 是一个无限基集，这意味着L₂ 的任何基底都需要无限多个基函数。为了证明一组无限多个正交函数是L₂ 空间的基底，我们需要证明零函数是L₂ 中唯一与所有基函数正交的函数。如果零函数是唯一满足这种关系的函数，那么该集合就是L₂ 的基底。

根据定义，我们可以将L₂ 中的任何函数表示为基元素的线性组合。如果我们有基元素 φ，我们可以将任何其他函数 ψ 定义为线性组合：

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$

我们将在关于傅里叶级数的部分探索这个重要的结果。