工程分析/线性无关与基底

线性无关

如果一组向量 $V={v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}}$ 中的任何向量 v 都可以通过该组中其他向量的线性组合来构造，则称这些向量彼此线性相关。给定以下线性方程

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}=0$

向量集 V 线性无关，当且仅当所有 a 系数都为零。如果我们将 v 向量组合成一个单行向量

${\hat {V}}=[v_{1}v_{2}\cdots v_{n}]$

并将所有 a 系数组合成一个单列向量

${\hat {a}}=[a_{1}a_{2}\cdots a_{n}]^{T}$

我们有以下线性方程

${\hat {V}}{\hat {a}}=0$

我们可以证明，这个方程只有在 ${\hat {a}}=0$ 时才成立，矩阵 ${\hat {V}}$ 必须可逆

${\hat {V}}^{-1}{\hat {V}}{\hat {a}}={\hat {V}}^{-1}0$

${\hat {a}}=0$

请记住，要使矩阵可逆，行列式必须非零。

非方阵 V

如果矩阵 ${\hat {V}}$ 不是方阵，则无法求行列式，因此矩阵不可逆。为了解决这个问题，我们可以用转置矩阵预乘

${\hat {V}}^{T}{\hat {V}}{\hat {a}}=0$

然后，方阵 ${\hat {V}}^{T}{\hat {V}}$ 必须是可逆的。

$({\hat {V}}^{T}{\hat {V}})^{-1}{\hat {V}}^{T}{\hat {V}}{\hat {a}}=0$

${\hat {a}}=0$

秩

矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数量。

为了确定秩，通常将矩阵简化为行阶梯形。从简化的形式中，非零行的数量或非零列的数量（以较小的为准）是矩阵的秩。

如果我们将两个矩阵 A 和 B 相乘，结果为 C

$AB=C$

那么 C 的秩是 A 和 B 的秩的最小值。

$\operatorname {Rank} (C)=\operatorname {min} [\operatorname {Rank} (A),\operatorname {Rank} (B)]$

张成

一组向量 V 的张成 是通过向量线性组合可以创建的所有向量的集合。

基

基是一组线性无关的向量，它们张成整个向量空间。

基展开

如果我们有一个向量 $y\in V$，而 V 有基向量 ${v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$，根据定义，我们可以将 y 写成基向量线性组合的形式。

$a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}=y$

或

${\hat {V}}{\hat {a}}=y$

如果 ${\hat {V}}$ 是可逆的，答案很明显，但如果 ${\hat {V}}$ 不可逆，那么我们可以执行以下技巧。

${\hat {V}}^{T}{\hat {V}}{\hat {a}}={\hat {V}}^{T}y$

${\hat {a}}=({\hat {V}}^{T}{\hat {V}})^{-1}{\hat {V}}^{T}y$

我们把 $({\hat {V}}^{T}{\hat {V}})^{-1}{\hat {V}}^{T}$ 称为 ${\hat {V}}$ 的 **左伪逆**。

基变换

通常，将基向量变换为另一组跨越相同集合但具有不同属性的向量是有用的。如果我们有一个空间 V，其基向量为 ${\hat {V}}$，V 中的一个向量称为 x，我们可以使用新的基向量 ${\hat {W}}$ 来表示 x

$x=\sum _{i=0}^{n}a_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}w_{j}$

或者,

$x={\hat {V}}{\hat {a}}={\hat {W}}{\hat {b}}$

如果 V 可逆，则此问题的解决方案很简单。

格拉姆-施密特正交化

如果我们有一组非正交的基向量，我们可以使用一个称为 **正交化** 的过程来为相同空间生成一组新的正交基向量。

给出： ${\hat {V}}={x_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$

找到新的基 ${\hat {W}}={w_{1}w_{2}\cdots w_{n}}$

使得 $\langle w_{i},w_{j}\rangle =0\quad \forall i,j$

我们可以定义这些向量如下

1. $w_{1}=v_{1}$
2. $w_{m}=v_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {\langle v_{m},u_{i}\rangle }{\langle u_{i},u_{i}\rangle }}u_{i}$

注意，这种技术生成的向量彼此正交，但它们不一定是标准正交的。为了使 w 向量成为标准正交的，您必须将每个向量除以它的范数。

${\bar {w}}={\frac {w}{\|w\|}}$

互逆基底

互逆基底是一种特殊的基底，它与原始基底相关。互逆基底 ${\hat {W}}$ 可以定义为

${\hat {W}}=[{\hat {V}}^{T}]^{-1}$