工程分析/线性变换

线性变换

线性变换是作用于空间V中的向量的矩阵M，并生成不同空间W中的向量。我们可以这样定义变换

$T:V\to W$

在上式中，我们说V是变换的域空间，W是变换的值域空间。另外，我们可以使用“函数符号”来表示变换，并将其写成

$M(x)=Mx=y$

其中x是V中的向量，y是W中的向量。为了成为线性变换，叠加原理必须适用于变换

$M(av_{1}+bv_{2})=aM(v_{1})+bM(v_{2})$

其中a和b是任意标量。

零空间

方程的零空间是所有满足以下关系的向量x的集合

$Mx=0$

其中M是线性变换矩阵。根据M的大小和秩，零空间中可能存在零个或多个向量。以下是一些需要记住的规则

1. 如果矩阵M可逆，则不存在零空间。
2. 零空间中的向量数量(N)是矩阵的秩(R)与矩阵的列数(C)之差

$N=R-C$

如果矩阵处于行阶梯形式，则零空间中的向量数量由对角线上没有前导1的行数给出。对于对角线上没有前导1的每一列，零空间向量可以通过在该列向量的前导位置放置一个负一获得。

我们用以下符号表示矩阵A的零空间

${\mathcal {N}}\{A\}$

线性方程

如果我们有一组关于变量x、标量系数a和标量结果b的线性方程，我们可以用矩阵符号这样写

$Ax=b$

其中x是m × 1向量，b是n × 1向量，A是n × m矩阵。因此，这是一个包含m个未知变量的n个方程组。有3种可能性

1. 如果秩(A)不等于秩([A b])，则不存在解
2. 如果秩(A) = 秩([A b]) = n，则存在唯一解
3. 如果秩(A) = 秩([A b]) < n，则存在无穷多个解。

完全解

线性方程的完全解由齐次解和特解之和给出。齐次解是变换的零空间，特解是满足方程的x的值

$A(x)=b$

$A(x_{h}+x_{p})=b$

其中

$x_{h}$是齐次解，是满足方程$A(x_{h})=0$的A的零空间

$x_{p}$ 是满足方程 $A(x_{p})=b$ 的特解。

最小范数解

如果 Rank(A) = Rank([A b]) < n，则线性方程有无穷多个解。在这种情况下，必须找到称为最小范数解的解。该解代表问题的“最佳”解。要找到最小范数解，我们必须在以下约束条件下最小化 x 的范数：

$Ax-b=0$

根据给定约束最小化值的方法有很多，我们将在以后讨论它们。

最小二乘曲线拟合

如果 Rank(A) 不等于 Rank([A b])，则线性方程无解。但是，我们可以找到最接近的解。这个“最佳拟合”解被称为最小二乘曲线拟合。

我们定义一个误差量 E，使得

$E=Ax-b\neq 0$

然后我们的任务是找到 E 的范数的最小值

$\|E\|^{2}=\|Ax-b\|^{2}=<Ax-b,Ax-b>$

我们通过对 x 进行微分并将结果设为零来做到这一点

${\frac {\partial \|E\|^{2}}{\partial x}}=2A'(Ax-b)=0$

求解后，我们得到结果

$x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b$