工程分析/向量基础

标量积

标量积是一种特殊的运算，作用于两个向量，并返回一个标量结果。标量积用尖括号之间的有序对表示：<x,y>。向量之间的标量积必须满足以下四条规则

1. $\langle x,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in V$
2. $\langle x,x\rangle =0$，当且仅当 x = 0
3. $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle$
4. $\langle x,cy_{1}+dy_{2}\rangle =c\langle x,y_{1}\rangle +d\langle x,y_{2}\rangle$

如果一个运算满足所有这些要求，那么它就是一个标量积。

示例

最常见的标量积之一是点积，它在线性代数中经常被讨论。

范数

范数是一个重要的标量，表示向量的幅度。向量的范数通常用$\|x\|$表示。为了成为范数，一个运算必须满足以下四个条件

1. $\|x\|\geq 0$
2. $\|x\|=0$，当且仅当 x = 0。
3. $\|cx\|=|c|\|x\|$
4. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

如果一个向量的范数为1，则称该向量为单位向量。单位向量有时也被称为单位向量。本书中将使用两种表示法。要使一个向量归一化，但保持它指向相同的方向，我们可以将向量除以它的范数

${\bar {x}}={\frac {x}{\|x\|}}$

示例

最常见的范数之一是笛卡尔范数，它被定义为平方和的平方根

$\|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

单位向量

如果向量的模为1，则称该向量为单位向量。

正交性

如果两个向量的内积为零，则称这两个向量正交

$\langle x,y\rangle =0$

如果两个向量的内积为零，并且这两个向量都是单位向量，则称这两个向量标准正交。

柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式是一个重要结果，它将向量模与内积联系起来

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|$

度量（距离）

向量空间 *V* 中两个向量之间的距离称为这两个向量的度量，用 d(x, y) 表示。度量运算必须满足以下四个条件

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0$ 当且仅当 x = y 时
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

示例

度量的一种常见形式是笛卡尔平面中点 a 和 b 之间的距离

$d(a,b)_{cartesian}={\sqrt {(x_{a}-x_{b})^{2}+(y_{a}-y_{b})^{2}}}$