工程分析/向量空间

向量和标量

标量是一个单一的数值，例如 3、5 或 10。向量是一组有序的标量。

向量通常被描述为一个矩阵，其行或列的大小为 1。列大小为 1 的向量称为行向量，而行大小为 1 的向量称为列向量。

[列向量]

${\begin{bmatrix}a\\b\\c\\\vdots \end{bmatrix}}$

[行向量]

${\begin{bmatrix}a&b&c&\cdots \end{bmatrix}}$

“普通向量”是列向量的另一个名称，本书将简单地使用“向量”一词来指代普通向量。

向量空间

向量空间是一组向量和两个运算（加法和乘法，通常），它们遵循一些特定的规则。我们通常用一个大写斜体字母来表示向量空间：例如V。如果满足以下所有要求，则空间V就是一个向量空间。我们将使用 x 和 y 来表示V中的任意向量。我们还将使用 c 和 d 来表示任意标量值。总共有 10 个要求。

已知：$x,y\in V$

1. 存在一个称为“加法”的运算（用“+”符号表示），在两个向量 x + y 之间，如果两个操作数都在V中，则结果也在V中。
2. 加法运算对于V中的所有元素都是可交换的。
3. 加法运算对于V中的所有元素都是可结合的。
4. 在V中存在一个唯一的中性元素 φ，使得 x + φ = x。这也称为零元素。
5. 对于V中的每个 x，则在V中存在一个负元素 -x，使得 -x + x = φ。
6. $cx\in V$
7. $c(x+y)=cx+cy$
8. $(c+d)x=cx+dx$
9. $c(dx)=cdx$
10. 1 × x = x

其中一些规则可能看起来很明显，但这仅仅是因为它们已经被普遍接受，并且从人们还是孩子的时候起就一直在教给他们。