数学中的例子和反例/无限序列

• 序列 在维基百科。

296280 个或多或少著名的序列被收集在 在线整数序列百科全书 上。另见 mathigon，mathsisfun 等。

相等成员的序列

(0,0,0,0,...)

与集合不同，序列可以只包含零，并且仍然是无限的。也就是说，序列的所有成员（换句话说，元素或项）可能都等于 0；或者，如果您愿意，等于 71：(71,71,71,71,...)。

自然数序列

(1,2,3,...)

第 n 个成员等于 n。

此序列严格递增（也就是说，每个成员都小于下一个成员）。

奇数子序列 (1,3,5,...) 包含所有奇数自然数；偶数子序列 (2,4,6,...) 包含所有偶数自然数。更一般地说，对于每个序列 $(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )$，可以考虑其奇数子序列 $(a_{1},a_{3},a_{5},\dots )$ 和偶数子序列 $(a_{2},a_{4},a_{6},\dots ).$

序列中的所有整数

(0,1,-1,2,-2,...)

此序列的存在表明所有整数（包括负数）的集合是可数的。

此序列是非单调的（也就是说，既不递增也不递减）。所有整数不可能包含在单调序列中，因为递增序列是下界，而递减序列是上界（想想为什么）。

第 n 个成员等于

${\begin{cases}-(n-1)/2&{\text{for odd }}n,\\n/2&{\text{for even }}n.\end{cases}}$

只是为了好玩，这两个公式可以合并，

${\frac {1+(-1)^{n}(2n-1)}{4}},$

但这并非必需。两个（或更多）公式是定义序列的合法方式。更一般地，任何两个序列$(a_{1},a_{2},\dots )$ 和 $(b_{1},b_{2},\dots )$ 可以交织成一个单一序列$(c_{1},c_{2},\dots )=(a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots );$ 这里

$c_{n}={\begin{cases}a_{(n+1)/2}&{\text{for odd }}n,\\b_{n/2}&{\text{for even }}n.\end{cases}}$

新序列$(c_{1},c_{2},\dots )$ 的奇数子序列$(c_{1},c_{3},c_{5},\dots )$ 等于第一个序列$(a_{1},a_{2},\dots );$ 同样，偶数子序列$(c_{2},c_{4},c_{6},\dots )$ 等于$(b_{1},b_{2},\dots ).$

包含每个自然数无限次的序列

(1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,5,1,2,...)

奇数子序列 (1,1,1,...) 仅包含 1。偶数子序列 (2,3,2,4,2,3,2,5,2,...) 与整个序列仅相差每个成员加 1。因此，偶数子序列的奇数子序列仅包含 2。依此类推... 也就是说，用$a_{n},$ 表示第 n 个成员，我们有$a_{2n}=a_{n}+1.$

第 n 个成员等于数字 q，使得${\frac {n}{2^{q-1}}}$ 是一个奇数。因此，${\frac {n}{2^{q-1}}}=2p-1$ 对于某个整数 p。使用此 p 而不是 q，我们得到另一个包含每个自然数无限次的序列
(1,1,2,1,3,2,4,1,5,3,6,2,7,4,...)
奇数子序列只是 (1,2,3,...)。偶数子序列 (1,1,2,1,3,2,4,...) 等于整个序列。也就是说，用$b_{n},$ 表示第 n 个成员，我们有$b_{2n}=b_{n}.$

相反，单调序列不可能同时包含 1 和 2 无限次（想想为什么）。

序列中的所有正有理数

$\textstyle {\Big (}1,{\frac {1}{2}},2,{\frac {1}{3}},3,1,4,{\frac {1}{4}},5,{\frac {3}{2}},6,{\frac {2}{3}},\dots {\Big )}$

第 n 项等于 ${\frac {p}{q}}$，其中 p 和 q 是正整数，且满足 $n=(2p-1)\cdot 2^{q-1}.$ 也就是说，$a_{(2p-1)\cdot 2^{q-1}}={\frac {p}{q}}.$ 因此，$\textstyle a_{1}=a_{1\cdot 2^{0}}=a_{(2\cdot 1-1)\cdot 2^{1-1}}={\frac {1}{1}}=1;$ $\textstyle a_{2}=a_{1\cdot 2^{1}}=a_{(2\cdot 1-1)\cdot 2^{2-1}}={\frac {1}{2}};$ $\textstyle a_{3}=a_{3\cdot 2^{0}}=a_{(2\cdot 2-1)\cdot 2^{1-1}}={\frac {2}{1}}=2;$ $\textstyle a_{4}=a_{1\cdot 2^{2}}=a_{(2\cdot 1-1)\cdot 2^{3-1}}={\frac {1}{3}};$ $\textstyle a_{5}=a_{5\cdot 2^{0}}=a_{(2\cdot 3-1)\cdot 2^{1-1}}={\frac {3}{1}}=3;$ $\textstyle a_{6}=a_{3\cdot 2^{1}}=a_{(2\cdot 2-1)\cdot 2^{2-1}}={\frac {2}{2}}=1;$ 等等。每一个正有理数 ${\frac {p}{q}}$ 在这个序列中都作为第 n 项 $a_{n}$ 出现，其中 $n=(2p-1)\cdot 2^{q-1}.$

这种序列的存在表明所有正有理数的集合是可数的。

此外，${\frac {p}{q}}$ 无限次出现，不仅对于 $n=(2p-1)\cdot 2^{q-1},$ 而且对于 $n=(4p-1)\cdot 2^{2q-1},$ $n=(6p-1)\cdot 2^{3q-1}$ 等等。

每个数字都是这个序列的聚点（也就是说，给定数字的每个邻域都包含序列的无限多个成员；等效地，给定数字是某个子序列的极限）。相反，单调序列可能只有一个聚点，即整个序列的极限（想想为什么）。

由 $f(q-1,p-1)+1=(2p-1)\cdot 2^{q-1}$ 定义的函数 f，其中整数 $p,q>0,$，即对于整数 $x,y\geq 0,$，$f(x,y)=(2y+1)\cdot 2^{x}-1$，是所谓的配对函数的一个例子。

• 配对函数 在维基百科上。

阶乘

• 阶乘 在维基百科上。

(1,2,6,24,120,720,...)

第 n 个成员等于第 (n-1) 个成员的 n 倍：$a_{n}=na_{n-1}$，对于所有 $n>1.$ 这是一个所谓的递推关系：每个后续成员都定义为其编号和前一个成员的函数。

• 递推关系 在维基百科上。

第一个元素等于 1：$a_{1}=1.$ 因此，第 n 个元素是所有从 1 到 n 的自然数的乘积；它被称为 n 的阶乘，记作 $n!\,.$ 例如，$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120.$

阶乘被广泛使用。它们出现在二项式定理、泰勒定理、大多数著名的离散概率分布（二项式、负二项式、多项式、泊松、超几何）等中。

斯特林公式 $\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}.$ 为大阶乘提供了很好的近似。它的相对误差 $\textstyle {\big |}1-{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}}{n!}}{\big |}$ 趋向于零（当 n 趋向于无穷大时），但绝对误差 $|n!-{\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}|$ 趋向于无穷大。

• 斯特林公式 在维基百科上。

斐波那契数列

• 斐波那契数列 在维基百科上。

(1,1,2,3,5,8,13,21,...)

第 n 个元素等于第 (n-1) 个元素加上第 (n-2) 个元素：$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ 对于所有 $n>2$（再次，是一个递推关系）。前两个元素等于 1：$a_{1}=a_{2}=1.$ 因此，$a_{3}=a_{2}+a_{1}=1+1=2;$ $a_{4}=a_{3}+a_{2}=2+1=3;$ $a_{5}=a_{4}+a_{3}=3+2=5;$ 等等。

在 17 世纪，约翰内斯·开普勒观察到连续斐波那契数的比率 $\textstyle {\big (}{\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},\dots {\big )}$ 收敛到一个极限：${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\to \varphi$（当 $n\to \infty$ 时）对于某个数字 $\varphi .$ 如果是这样，那么必然 ${\tfrac {a_{n+2}}{a_{n+1}}}\to \varphi ,$ 因此 ${\tfrac {a_{n+1}+a_{n}}{a_{n+1}}}\to \varphi ,$ 也就是说，$1+{\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}\to \varphi ;$ 考虑到 ${\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}\to {\tfrac {1}{\varphi }}$ 我们得到 $1+{\tfrac {1}{\varphi }}=\varphi ,$ 也就是说，$\varphi +1=\varphi ^{2};$ 关于 $\varphi .$ 的二次方程。它有两个根，$(1\pm {\sqrt {5}})/2,$ 一个大于 1，另一个小于 1。显然，极限 $\varphi$ 不能小于 1（因为 ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ 不能）；因此，这个极限（如果存在）必须是 $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2.$ 这个数字就是著名的“黄金分割”，早在 2300 年前就被欧几里得研究过。

• 黄金分割 在维基百科。

我们想知道近似等式 ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\approx \varphi$ (当 *n* 很大时) 的误差，也就是 $a_{n+1}\approx \varphi a_{n}.$ 绝对误差为 $|a_{n+1}-\varphi a_{n}|,$ 我们研究差值 $a_{n+1}-\varphi a_{n};$ 它如何随着 *n* 变化？$a_{n+2}-\varphi a_{n+1}$ 比 $a_{n+1}-\varphi a_{n}?$ 大还是小（取绝对值）？

利用递推关系和$\varphi$ 的性质，我们得到$a_{n+2}-\varphi a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}-\varphi a_{n+1}=(1-\varphi )a_{n+1}+a_{n}=-{\frac {1}{\varphi }}a_{n+1}+a_{n}=-{\frac {1}{\varphi }}(a_{n+1}-\varphi a_{n}),$ 这表明所研究的差值改变了符号，并且在绝对值上减小。通过归纳法，$a_{n+1}-\varphi a_{n}={\big (}-{\tfrac {1}{\varphi }}{\big )}^{n-1}(a_{2}-\varphi a_{1})$ 对于所有n 成立。引入$\psi =-{\tfrac {1}{\varphi }},$ 注意到$\psi =1-\varphi$ 并回顾$a_{1}=a_{2}=1$，我们得到$a_{n+1}-\varphi a_{n}=\psi ^{n},$ 这表明绝对误差在减小，并收敛到 0（因为$-1<\psi <0$）。极限的存在如下：${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\varphi +{\tfrac {a_{n+1}-\varphi a_{n}}{a_{n}}}\to \varphi .$

有趣的是，$1+{\tfrac {1}{\varphi }}=\varphi$ 的性质，$\varphi$ 导致了类似的性质 $1+{\tfrac {1}{\psi }}=\psi$ 的 $\psi ,$ 如下：$1+{\tfrac {1}{\psi }}=1-\varphi =-{\tfrac {1}{\varphi }}=\psi .$ 因此，$\psi$ 不过就是二次方程的另一个根：$\psi =(1-{\sqrt {5}})/2.$

上面给出的等式 $a_{n+1}-\varphi a_{n}={\big (}-{\tfrac {1}{\varphi }}{\big )}^{n-1}(a_{2}-\varphi a_{1})$ 的证明没有使用 $\varphi ,$ 的任何其他性质，因此它也适用于 $\psi$：$a_{n+1}-\psi a_{n}={\big (}-{\tfrac {1}{\psi }}{\big )}^{n-1}(a_{2}-\psi a_{1}),$ 也就是说（和之前一样）$a_{n+1}-\psi a_{n}=\varphi ^{n}.$

对于$a_{n+1}-\varphi a_{n}=\psi ^{n}$ 和 $a_{n+1}-\psi a_{n}=\varphi ^{n}$ 都有显式公式，很容易得到 $a_{n}.$ 我们只需将第一个公式从第二个公式中减去，得到 $(\varphi -\psi )a_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n},$ 也就是说，这个神奇的公式是

$a_{n}={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n}}{2^{n}{\sqrt {5}}}}.$

由此可见，$a_{n}$ 是最接近 $\varphi ^{n}/{\sqrt {5}}.$ 的整数。

数字 $\pi$ 的小数部分

• Pi#Irrationality and normality 在维基百科。

(3,1,4,1,5,9,2,6,5,...)
根据定义，这个序列的第n项等于 $\lfloor 10\cdot \{10^{n-2}\pi \}\rfloor ;$ 其中 $\lfloor x\rfloor$ 是 x 的整数部分，而 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ 是 x 的小数部分。因此，
第一项是 $\lfloor 10\cdot \{10^{-1}\pi \}\rfloor =\lfloor 10\cdot \{0.3141\dots \}\rfloor =\lfloor 10\cdot 0.3141\dots \rfloor =\lfloor 3.141\dots \rfloor =3;$
第二项是$\lfloor 10\cdot \{10^{0}\pi \}\rfloor =\lfloor 10\cdot \{3.141\dots \}\rfloor =\lfloor 10\cdot 0.141\dots \rfloor =\lfloor 1.41\dots \rfloor =1;$
第三项是$\lfloor 10\cdot \{10^{1}\pi \}\rfloor =\lfloor 10\cdot \{31.41\dots \}\rfloor =\lfloor 10\cdot 0.41\dots \rfloor =\lfloor 4.1\dots \rfloor =4;$ 等等。

为了计算$\pi$，可以使用公式$\textstyle \pi =3+{\frac {4}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {4}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {4}{6\cdot 7\cdot 8}}-{\frac {4}{8\cdot 9\cdot 10}}+\dots .$ 使用更好的公式可以计算出$\pi$ 的数万亿位小数（即百万的百万位）。它们看起来像是随机的！一方面，这是很自然的，因为我们不知道这个序列中存在任何规律的原因。另一方面，这又很矛盾，因为在这些数字中没有丝毫的偶然性。等式$\lfloor 10\cdot \{10^{1}\pi \}\rfloor =4$ 是一个数学定理，等式$\lfloor 10\cdot \{10^{41}\pi \}\rfloor =9$ 也是如此，对于任何n，$\lfloor 10\cdot \{10^{n-2}\pi \}\rfloor$ 也同样如此。（参见 数值计算和严谨的数学。）每一个看似随机的数字，都是一个永恒的数学真理，不可能改变。这种令人费解的情况得到了生动的讨论，参见 Wicklin，Preuss，mathoverfow 等等。“为了使我们的无知不至于让人迷失，需要注意的是，我们甚至不知道所有数字是否都无限次出现：也许 Pi = 3.1415926.....01001000100001000001...”（Stan Wagon，Pi 是否是正规数？）。