数学中的例子和反例/一个实变量的实值函数

多项式

多项式在维基百科。

具有无限多个根的多项式

零多项式 $P(x)=0;$ 每个数都是P的根。这是唯一具有无限多个根的多项式。一个非零多项式具有一定的次数n（n可以是0、1、2，…），并且不能超过n个根，因为根据代数的一个著名定理，如果 $P(a_{1})=\dots =P(a_{m})=0$ （对于成对不同的 $a_{1},\dots ,a_{m}$ ），那么必然 $P(x)=(x-a_{1})\dots (x-a_{m})Q(x)$ 对于一些非零多项式Q，次数为 $n-m\geq 0.$

整数值与整数系数

整值多项式在维基百科。

每个具有整数系数的多项式P都是整值，即它的值P(k)对于每个整数k都是整数；但反过来只有对于一次多项式（线性函数）才成立。例如，多项式 $\textstyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}x(x-1)$ 每当x是整数时，都会取整数值。这是因为x和x-1中一定有一个是偶数。值 $\textstyle P_{2}(k)={\binom {k}{2}}$ 是二项式系数。

二项式系数在维基百科。

更一般地，对于每个n=0、1、2、3，…，多项式 $\textstyle P_{n}(x)={\frac {1}{n!}}x(x-1)\dots (x-n+1)$ 是整值； $\textstyle P_{n}(k)={\binom {k}{n}}$ 是二项式系数。事实上，每个整值多项式都是这些P_n的整数线性组合。

多项式模拟余弦：插值

余弦函数， $f(x)=\cos x,$ 满足 $f(0)=1,$ $f(\pi /6)={\sqrt {3}}/2,$ $f(\pi /4)={\sqrt {2}}/2,$ $f(\pi /3)=1/2,$ $f(\pi /2)=0;$ 同时 $f(-x)=f(x)$ 以及 $f(x+\pi )=-f(x)$ 对于所有 x 成立，这为 $f(x)$ 是以下数字之一提供了无限个 x： $\pm 1,\pm {\sqrt {3}}/2,\pm {\sqrt {2}}/2,\pm 1/2,0;$ 也就是说，图上有无限多个点。多项式无法满足所有这些条件，因为 $|P(x)|\to \infty$ 当 $x\to \pm \infty$ 对于每个非恒定多项式 P 成立；它可以满足其中一部分吗？

我们尝试寻找满足五个条件的P $P(0)=1,$ $P(\pi /6)={\sqrt {3}}/2,$ $P(\pi /4)={\sqrt {2}}/2,$ $P(\pi /3)=1/2,$ $P(\pi /2)=0.$ 为了方便，我们对x进行重新缩放，令 $\textstyle P(x)=Q{\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )}$ ，并将五个条件改写成Q的形式： $Q(0)=1,$ $Q(2)={\sqrt {3}}/2,$ $Q(3)={\sqrt {2}}/2,$ $Q(4)=1/2,$ $Q(6)=0.$ 为了找到这样的Q，我们使用拉格朗日多项式。

Wikipedia 上的拉格朗日多项式#重心形式.

Lagrange interpolation polynomial — 拉格朗日插值多项式

使用五次多项式 $\ell (x)=x(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)$ ，它在给定点 0, 2, 3, 4, 6 处有根，并考虑到 $\ell '(0)=(-2)\cdot (-3)\cdot (-4)\cdot (-6)=144$ （通过对乘积进行微分来验证），我们考虑所谓的拉格朗日基多项式 $\textstyle {\frac {\ell (x)}{\ell '(0)x}}={\frac {1}{144}}(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)$ ，它在 2, 3, 4, 6 处有根（但不在 0 处）；左手边的除法被解释为多项式的代数除法（即，找到一个多项式，它与分母的乘积是分子 $\ell (x)$ ）而不是函数的除法，因此商对于所有x都定义，包括 0。它在 0 处的值为 1。思考一下为什么；看图；回忆一下 $\textstyle \ell '(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\ell (x)}{x}}$ 。

类似地，第二个拉格朗日基多项式 $\textstyle {\frac {\ell (x)}{\ell '(2)(x-2)}}=-{\frac {1}{16}}x(x-3)(x-4)(x-6)$ 分别在 0, 2, 3, 4, 6 处取值 0, 1, 0, 0, 0。第三个 $\textstyle {\frac {\ell (x)}{\ell '(3)(x-3)}}={\frac {1}{9}}x(x-2)(x-4)(x-6)$ 分别取值 0, 0, 1, 0, 0。依此类推（计算第四个和第五个）。现在，只需将这五个拉格朗日基多项式与系数（等于Q的所需值）相结合即可。

{\begin{aligned}Q(x)&=\textstyle Q(0){\frac {\ell (x)}{\ell '(0)x}}+Q(2){\frac {\ell (x)}{\ell '(2)(x-2)}}+Q(3){\frac {\ell (x)}{\ell '(3)(x-3)}}+Q(4){\frac {\ell (x)}{\ell '(4)(x-4)}}+Q(6){\frac {\ell (x)}{\ell '(6)(x-6)}}\\&=\textstyle {\frac {1}{144}}(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{16}}x(x-3)(x-4)(x-6)+\\&\qquad +\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{9}}x(x-2)(x-4)(x-6)-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{16}}x(x-2)(x-3)(x-6).\end{aligned}}

Polynomial approximation to cosine — 余弦函数的多项式逼近

最后， $\textstyle \cos x\approx P(x)=Q{\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )}.$ 正如我们从图中看到的那样，这两个函数在 $0<x<0.5\pi ;$ 范围内非常接近；实际上，对于这些 x， $|P(x)-\cos x|$ 的最大值约为 0.00029。

可以通过导数得到更好的近似值。函数 $f(x)=\cos x$ 的导数为 $f'(x)=-\sin x,$ 因此有 $f'(0)=0,$ $f'(\pi /6)=-1/2,$ $f'(\pi /4)=-{\sqrt {2}}/2,$ $f'(\pi /3)=-{\sqrt {3}}/2,$ $f'(\pi /2)=-1.$ 相应的导数 $P'(x)$ 接近但不同；例如，

{\begin{aligned}P'{\big (}{\tfrac {\pi }{2}}{\big )}&={\tfrac {12}{\pi }}Q'(6)={\tfrac {12}{\pi }}\cdot {\big (}{\tfrac {1}{144}}\cdot 4\cdot 3\cdot 2-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\tfrac {1}{16}}\cdot 6\cdot 3\cdot 2+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\tfrac {1}{9}}\cdot 6\cdot 4\cdot 2-\\&\quad -{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{16}}\cdot 6\cdot 4\cdot 3{\big )}={\tfrac {2}{\pi }}-{\tfrac {27{\sqrt {3}}}{2\pi }}+{\tfrac {32{\sqrt {2}}}{\pi }}-{\tfrac {27}{\pi }}\approx -0.9956\neq -1.\end{aligned}}

为了修正导数而不破坏数值，我们将 $Q(x)$ 替换为 $Q(x)+\ell (x)R(x)$ ，其中 $R(x)$ 是一个 4 次多项式，使得 $Q{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}+\ell {\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}R{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}$ 的导数等于 $f'(x)$ ，其中 $x=0,{\tfrac {\pi }{6}},{\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{2}};$ 也就是说， ${\tfrac {12}{\pi }}Q'{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}+{\tfrac {12}{\pi }}\ell '{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}R{\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}=f'(x),$ 因为对于这些 x， $\ell {\big (}{\tfrac {12}{\pi }}x{\big )}=0$ ；所以，

R(x)={\frac {{\frac {\pi }{12}}f'{\big (}{\frac {\pi }{12}}x{\big )}-Q'(x)}{\ell '(x)}}

，其中

x=0,2,3,4,6.

我们像以前一样找到这样的 R

R(x)=\textstyle R(0){\frac {\ell (x)}{\ell '(0)x}}+R(2){\frac {\ell (x)}{\ell '(2)(x-2)}}+R(3){\frac {\ell (x)}{\ell '(3)(x-3)}}+R(4){\frac {\ell (x)}{\ell '(4)(x-4)}}+R(6){\frac {\ell (x)}{\ell '(6)(x-6)}},

并得到更好的逼近 $\textstyle P_{2}(x)=P(x)+\ell {\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )}R{\big (}{\frac {12}{\pi }}x{\big )};$ 事实上， $\max _{0<x<\pi /2}|P_{2}(x)-\cos x|\approx 4.2\cdot 10^{-10}.$ 如果你仍然想要更小的误差，尝试二阶导数和 $Q(x)+\ell (x)R(x)+\ell ^{2}(x)S(x).$

多项式模拟余弦函数：根

余弦函数， $f(x)=\cos x,$ 满足 $f(0)=1$ 并且有无穷多个根： $f(\pm 0.5\pi )=f(\pm 1.5\pi )=f(\pm 2.5\pi )=\dots =0.$ 多项式不能满足所有这些条件；它能满足其中有限部分吗？

很容易找到一个多项式P，使得 $P(0)=1$ 并且 $P(\pm 0.5\pi )=0,$ 即 $P_{1}(x)=-{\frac {4}{\pi ^{2}}}(x^{2}-0.25\pi ^{2})$ （验证一下）。那么 $P(0)=1$ 并且 $P(\pm 0.5\pi )=P(\pm 1.5\pi )=0\,?$

由于条件对x的符号不敏感，我们寻找一个 $x^{2},$ 的多项式，也就是说， $P(x)=Q(x^{2})$ ，其中Q满足 $Q(0)=1$ 以及 $Q(0.25\pi ^{2})=Q(2.25\pi ^{2})=0.$ 很容易找到这样的Q，即 $Q(x)={\frac {16}{9\pi ^{4}}}(x-0.25\pi ^{2})(x-2.25\pi ^{2})$ （验证一下），这导致了

$P_{2}(x)={\frac {16}{9\pi ^{4}}}(x^{2}-0.25\pi ^{2})(x^{2}-2.25\pi ^{2}).$ 就像我们在图中看到的，这两个函数在 $-0.5\pi <x<0.5\pi ;$ 范围内非常接近；事实上，对于这些x， $|P_{2}(x)-\cos x|$ 的最大值约为 0.028，而 $|P_{1}(x)-\cos x|$ （对于这些x）约为 0.056。

在这个方向上的下一步是： $\textstyle P_{3}(x)=-{\frac {64}{225\pi ^{6}}}(x^{2}-0.25\pi ^{2})(x^{2}-2.25\pi ^{2})(x^{2}-6.25\pi ^{2})$ $\textstyle ={\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{25\pi ^{2}}}{\Big )};$ $\quad \max _{-0.5\pi <x<0.5\pi }|P_{3}(x)-\cos x|\approx 0.019.$

等等。对于每个 $n=1,2,\dots$ ，多项式

P_{n}(x)={\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\Big )}\dots {\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}}}{\Big )}=\prod _{k=1}^{n}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}{\Big )}

满足 $P_{n}(0)=1$ 和 $P_{n}(\pm 0.5\pi )=P_{n}(\pm 1.5\pi )=\dots =P_{n}(\pm (n-0.5)\pi )=0,$ 这很容易验证。更难（但可能）证明 $P_{n}(x)\to \cos x$ 作为 $n\to \infty ,$ 它将余弦表示为无限乘积

\cos x={\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\Big )}\dots =\prod _{k=1}^{\infty }{\Big (}1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}{\Big )}.

维基百科上的三角恒等式列表#无限积公式。

另一方面，众所周知的幂级数 $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}$ 给出了另一个多项式序列 $Q_{n}(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\dots +{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}$ 收敛到相同的余弦函数。见图中的 Q₃； $\quad \max _{-0.5\pi <x<0.5\pi }|Q_{3}(x)-\cos x|\approx 0.0009.$

维基百科上的泰勒级数#三角函数。

我们可以通过展开括号来检查等式 $\textstyle {\big (}1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}}}{\big )}{\big (}1-{\frac {4x^{2}}{9\pi ^{2}}}{\big )}\dots =1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-\cdots$ 的正确性吗？让我们试一下。常数项系数：1=1。x² 的系数： $\textstyle -{\frac {4}{\pi ^{2}}}-{\frac {4}{9\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{2}},$ 也就是说， $\textstyle 1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}};$ 真的吗？是的， $\textstyle 1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots =\textstyle (1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots )-({\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots )=(1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots )-{\frac {1}{2^{2}}}(1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots )={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {\pi ^{2}}{8}};$ 著名的平方倒数级数起着重要作用。

平方倒数级数在维基百科。

这种非严格的括号展开可以严格地表示如下。对于任何多项式 *P*，常数项是 *P* 在零点的值，即 *P*(0)；*x* 的系数是导数 *P* '(0) 在零点的值；*x*² 的系数是二阶导数 *P''*(0) 在零点的值的一半，即 ½*P''*(0)。显然， $Q_{n}(0)=1=f(0),$ $Q'_{n}(0)=0=f'(0)$ 和 $Q''_{n}(0)=-1=f''(0)$ 对于所有 $n\geq 1$ （如前所述， $f(x)=\cos x$ ）。上面的计算表明 $P''_{n}(0)\to -1=f''(0)$ 当 *n* 趋于无穷大时。那么，更高阶导数， $P_{n}^{(k)}(0),$ 是否收敛于 $f^{(k)}(0)\,$ ？将上面的计算推广到 *k*=4、6……是乏味的（甚至可能无法实现）；幸运的是，有一个更好的方法。也就是说， $P_{n}(z)\to f(z)$ 对于所有复数 *z*，而且， $\max _{|z|\leq R}|P_{n}(z)-f(z)|\to 0$ 对于每个 *R*>0。利用柯西微分公式，我们可以得出结论， $\max _{|z|\leq R}|P_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\to 0$ （当 $n\to \infty$ ）对于每个 *k*，特别是， $P_{n}^{(k)}(0)\to f^{(k)}(0).$

维基百科上的柯西微分公式。另请参见 Proofwiki 上解析函数一致极限的导数。

导数的极限与极限的导数

P_{n}(x)=x(1-x^{2})^{n}\,.

当 $-1\leq x\leq 1$ 时，我们有 $P_{n}(x)\to 0$ （思考一下，为什么）当 $n\to \infty .$ 然而，零点的导数并不收敛到 0；相反，它等于 1（对于所有 *n*），因为，表示 $Q_{n}(x)=(1-x^{2})^{n},$ 我们有 $P'_{n}(x)=(xQ_{n}(x))'=1\cdot Q_{n}(x)+x\cdot Q'_{n}(x);$ $P'_{n}(0)=Q_{n}(0)=1.$

因此，函数序列 $(P_{1},P_{2},\dots )$ 在区间 $[-1,1]$ 上的极限是零函数，因此极限的导数也是零函数。然而，导数序列 $(P'_{1},P'_{2},\dots )$ 至少在 $x=0.$ 处不为零。对于 $0<|x|\leq 1\,$ 情况如何？这里导数的极限为零，因为 $P'_{n}(x)={\big (}1-(2n+1)x^{2}{\big )}(1-x^{2})^{n-1}\to 0$ （检查一下；第二个因子的指数衰减超过了第一个因子的线性增长）。因此，

0={\big (}\lim _{n\to \infty }P_{n}(x){\big )}'\neq \lim _{n\to \infty }P'_{n}(x)=f(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}-1\leq x<0,\\1&{\text{for }}x=0,\\0&{\text{for }}0<x\leq 1.\end{cases}}

导数和极限并不总是可以交换的。

请注意，函数 *f* 有两个等效定义；一个是分段的（对于某些 *x*，一个值，对于其他 *x*，另一个值，等等），但另一个是单个表达式 $f(x)=\lim _{n\to \infty }{\big (}1-(2n+1)x^{2}{\big )}(1-x^{2})^{n-1}$ ，对于所有这些 *x*。

分段函数在维基百科。

函数 *f* 在 (0) 处不连续，尽管它是连续函数 $P'_{n}.$ 的极限。这在逐点收敛的情况下可能发生（即，在所考虑域的每个点都收敛），因为收敛速度可能取决于该点。

逐点收敛在维基百科。

否则（当收敛速度不依赖于该点时），收敛称为一致收敛；根据一致收敛定理，连续函数的一致极限是一个连续函数。

一致收敛#到连续性在维基百科。

由此可知， $P'_{n}$ （到 *f*）的收敛是非一致的，但这只是一个反证法。

反证法在维基百科。

从直接证明可以更好地理解这一点。导数 $P'_{n}$ 无法一致收敛，因为 $P'_{n}(x)$ 无法变得很小（当 *n* 很大时）对于某些靠近 0 的 *x*；例如，试试 $\textstyle x={\sqrt {\frac {c}{n-1}}}\,:$

\max _{0<x\leq 1}P'_{n}(x)\geq P'_{n}{\Big (}{\sqrt {\frac {c}{n-1}}}\,{\Big )}=\underbrace {{\Big (}1-(2n+1){\frac {c}{n-1}}{\Big )}} _{\to 1-2c}\cdot \underbrace {{\Big (}1-{\frac {c}{n-1}}{\Big )}^{n-1}} _{\to e^{-c}}\to (1-2c)e^{-c}

对于所有 $c>0;$ 并且 $(1-2c)e^{-c}$ 不为零（除非 $c=0.5$ ）。

相反， $P_{n}\to 0$ 在 $[-1,1],$ 上一致收敛，也就是说， $\max _{-1\leq x\leq 1}|P_{n}(x)|\to 0$ 随着 $n\to \infty ,$ ，因为最大值出现在 $\textstyle x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}$ （通过解方程 $P'_{n}(x)=0$ 进行验证）并且 $\textstyle 0\leq P_{n}{\big (}{\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}{\big )}\leq {\frac {1}{\sqrt {2n+1}}}\to 0.$ 然而，交换导数和极限运算似乎是不可能的。将此情况与一个众所周知的定理进行比较

如果 $(f_{n})$ 是 $[a,b]$ 上的可微函数序列，使得 $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})$ 存在（且有限）对于某些 $x_{0}\in [a,b]$ ，并且序列 $(f'_{n})$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，那么 $f_{n}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于函数 $f$ ，并且 $f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)$ 对于 $x\in [a,b]$ 成立。

维基百科上的一致收敛#到可微性。

导数 $f'_{n}$ 的一致收敛是必需的；函数 $f_{n}$ 的一致收敛是不够的。

复数在第 “多项式模拟余弦：根” 节中很有用，但在这里无能为力，因为对于 $z=\pm ci$ ，我们有 $|P(z)|=c(1+c^{2})^{n}\to \infty$ 对于所有 $c>0.$

怪物函数

连续怪物

每个人都知道如何通过坐标平面上的曲线来可视化连续函数的行为。为此，人们对函数图形上的足够多的点 ${\big (}x,f(x){\big )}$ 进行采样，将它们绘制在 $(x,y)$ 平面上，然后用曲线连接这些点，绘制出图形。然而，这个看似毫无争议的想法却被一些奇特的函数所挑战，这些函数有时被称为“连续怪物”。它们通常是所谓的间隙三角级数的和

f(x)=a_{0}+\sum \nolimits _{n=1}^{\infty }(a_{n}\sin(\lambda _{n}x)+b_{n}\cos(\lambda _{n}x){\big )}\qquad

（其中数字

\lambda _{n}\to \infty

相距很远）。

维基百科上的间隙函数#间隙三角级数。（也在 EoM 上的间隙三角级数）。

其中最著名的就是魏尔斯特拉斯函数

f(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\qquad

（对于适当的

a,b

使得

{\tfrac {1}{b}}\leq a<1

）。

维基百科上的魏尔斯特拉斯函数。

根据 Jarnicki 和 Pflug（第 3.1 节），这是 $C_{a,b}{\big (}{\tfrac {1}{2}}x{\big )}$ （类似的正弦函数级数是 $S_{a,b}$ ）。

Marek Jarnicki，Peter Pflug，连续无处可微函数：分析的怪兽，施普林格，2015 年，299 页。

这幅图像（由迈克尔·麦克劳克林根据上述维基百科文章在此处复制，以及由理查德·利普顿在此处复制，但没有参考）实际上是函数 $f(x)=C_{0.5,3}{\big (}{\tfrac {1}{2}}x{\big )}$ 的近似 $f_{7}(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{7}{\tfrac {1}{2^{n}}}\cos(3^{n}\pi x)$ 的图形，通过连接 $\approx 3100$ 个采样点（可以通过检查XML 代码，该代码位于SVG 文件中）获得。虽然看起来像一条曲线，但它显得相当奇怪。最后两个求和项被扭曲了，因为步长 $\approx {\tfrac {4}{3100}}\approx 0.0013$ 超过了 $\cos(3^{7}\pi x)$ 的周期 ${\tfrac {2}{3^{7}}}\approx 0.0009$ ，并且接近 $\cos(3^{6}\pi x).$ 的一半周期 ${\tfrac {2}{3^{6}}}\approx 0.0027$ 。然而，所有 $n>5$ 的项最多贡献 $2^{-6}+2^{-7}+2^{-8}+\dots =2^{-5}={\tfrac {1}{32}},$ 也就是说，对于所有的 $x;$ ， $|f(x)-f_{5}(x)|\leq {\tfrac {1}{32}}$ ；除非放大图像，否则这种差异几乎不可见。

到目前为止，一切顺利。但这个怪物还不是最糟糕的。为了得到一个更可怕的间断三角级数，人们可以尝试频率 $\lambda _{n}$ 比 $3^{n},$ 增加得更快，或者系数比 $1/2^{n},$ 减少得更慢，或者两者兼而有之。

让我们尝试一下这个级数

g(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)={\tfrac {1}{2}}\cos 2\pi x+{\tfrac {1}{6}}\cos 6\pi x+{\tfrac {1}{12}}\cos 18\pi x+\dots \,;

这些系数 ${\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}={\tfrac {1}{n+1}}-{\tfrac {1}{n+2}}$ 很方便，因为它们的和是（有限的且）明显的： $\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}+\dots =(1-{\tfrac {1}{2}})+({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}})+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}})+\dots =1.\;$ 因此， $\,g(0)=1\,$ （因为 $\cos 0=1$ ），以及 $\,-1\leq g(x)\leq 1\,$ 对所有 $x$ （因为 $-1\leq \cos x\leq 1$ ）。

部分和

g_{0}(x)

g_{1}(x)

g_{2}(x)

类似地， $\,\sum \nolimits _{n=0}^{N}{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}=1-{\tfrac {1}{N+2}}\,$ 以及 $\,\sum \nolimits _{n=N+1}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}={\tfrac {1}{N+2}}.\,$ 因此，部分和 $\;g_{N}(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{N}{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)$ 和尾部 ${\displaystyle \;g(x)-g_{N}(x)=\sum \nolimits _{n=N+1}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)\,}.$ 满足 $\,g_{N}(0)=1-{\tfrac {1}{N+2}},\,$ $\,g(0)-g_{N}(0)={\tfrac {1}{N+2}}\,$ 以及 $\,|g_{N}(x)|\leq 1-{\tfrac {1}{N+2}},\,$ $\,|g(x)-g_{N}(x)|\leq {\tfrac {1}{N+2}}\,$ 对所有 $x.$

由于明显的对称性（见 $g_{0},g_{1},g_{2}$ 在周期 $[0,1]$ 上的图形），只需要在 $[0,\,1/4].$ 上绘制此函数。

仔细观察 $g_{8}$ 的图形，我们开始产生怀疑。乍一看，它是用较粗的笔绘制的。但事实并非如此；一些（几乎？）垂直线很细。所以，我们在这里看到的是一条曲线，还是两条“平行”曲线之间的区域？

g_{8}(x)

和

g_{10}(x),

，放大40倍

g_{10}(x)

和

g_{12}(x),

，放大400倍

$g_{8}$ 的图形在放大后变得清晰可见，但随着 $g_{10}.$ 的出现，这种怀疑又回来了，而且更加强烈。再放大一次只会让情况更糟。我们意识到， $g_{8}$ 在 $[0,\,1/4]$ 上的图形看起来过于完美。特别是， $g$ 的图形似乎穿过了红色框的上侧。那么，如何才能更接近 $g(x)?$ 的图形呢？

幸运的是，对于 $x$ 的某些特殊值， $g(x)$ 的确切值是显而易见的。首先， $g(0)=1$ （见上文），因此对于所有整数 $k$ ，都有 $g(k)=1$ ，这是由于周期性：对于所有 $x.$ 都有 $g(x+1)=g(x)$ 。类似地， $g{\big (}k+{\tfrac {1}{2}}{\big )}=g{\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}=-1,$ 因为对于所有奇数整数 $k$ ，都有 $\cos k\pi =-1$ （特别是， $k=3^{n}$ ）。另一方面，对于所有 $x.$ ，都有 $-1\leq g(x)\leq 1$ 。

去掉第一个加数，我们得到第一个尾部 $g(x)-g_{0}(x),$ ，周期为 ${\tfrac {1}{3}}.$ 因此， $g{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}-g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}=g(0)-g_{0}(0)={\tfrac {1}{2}}$ 并且 $g{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}-g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}=g{\big (}{\tfrac {1}{6}}{\big )}-g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{6}}{\big )}=-{\tfrac {1}{2}}$ 对所有整数 $k.$ 另一方面， $-{\tfrac {1}{2}}\leq g(x)-g_{0}(x)\leq {\tfrac {1}{2}}$ 对所有 $x.$ 因此，

g(x)

的特殊值和范围

通过

g_{0}(x)

通过

g_{1}(x)

g{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}=g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}k{\big )}+{\tfrac {1}{2}},\quad

g{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}=g_{0}{\big (}{\tfrac {1}{3}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}-{\tfrac {1}{2}}\quad

对于所有整数

k,

g_{0}(x)-{\tfrac {1}{2}}\leq g(x)\leq g_{0}(x)+{\tfrac {1}{2}}\quad

对于所有

x.

类似地，对于所有 $N,$

g{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}k{\big )}=g_{N}{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}k{\big )}+{\tfrac {1}{N+2}},\quad

g{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}=g_{N}{\big (}{\tfrac {1}{3^{N+1}}}(k+{\tfrac {1}{2}}){\big )}-{\tfrac {1}{N+2}}\quad

对于所有整数

k,

g_{N}(x)-{\tfrac {1}{N+2}}\leq g(x)\leq g_{N}(x)+{\tfrac {1}{N+2}}\quad

对所有

x.

回到 $g_{10}(x)$ 和 $g_{12}(x)$ 在 $[0.11,0.1125],$ 上，我们通过 $g_{10}(x)$ 添加特殊值和边界，可以发现 $g(x)$ 比 $g_{12}(x)$ 距离 $g_{10}(x)$ 更远，而 $g_{12}(x)$ 距离 $g_{10}(x).$ 在红色曲线上我们有超过 440 个点，蓝色曲线上也有同样多的点。

因此，如果图片的横向尺寸小于 440 像素，那么 $g(x)$ 的图形不可避免地会穿过红色曲线和蓝色曲线之间的所有像素！在给定的分辨率下， $g(x)$ 的图形看起来不像一条曲线，而像是两条平行曲线之间的区域。

这本身并不令人惊讶。例如，一个由 100 赫兹声音调制的 10 兆赫兹无线电波可以用以下函数来描述： $h(t)=\cos(10^{2}\cdot 2\pi t)\cdot \cos(10^{7}\cdot 2\pi t).$ 例如，在 $[0,0.1]$ 上， $h(t)$ 的图形看起来不像一条曲线，而是两条曲线之间的区域，即 $\pm \cos(10^{2}\cdot 2\pi t).$ 并在 $[0,10^{-4}]$ 上看起来像一个矩形区域。然而，放大最终会有所帮助；在 $[0,10^{-6}]$ （或任何其他 1 微秒间隔）上， $h(t)$ 的图形看起来像一条曲线。

相比之下，对于 $g(t)$ ，放大永远不会有帮助，只会让情况变得更糟。实际上，最终会导致图形看起来像一个矩形区域。这显示了 $g(x).$ 的巨大性质。另一方面，当放大趋于无穷大时，（近似）矩形区域的高度收敛于零；这显示了 $g(x).$ 的连续性质。

用类似区域图的图形进行可视化效果并不理想。虽然无法绘制曲线图，但我们仍然可以做得更多。我们可以随机选择许多 $x,$ 的值，计算给定函数对应的 $y$ 值，并绘制点 $(x,y).$ 这张图显示了 $37\,500$ 个随机点在尾部 $g(x)-g_{10}(x)$ 图形上的样本，这些样本位于该尾部周期（由于明显的对称性，如前所述，第一个周期就足够了）的第一象限。事实上，这里使用函数 $g_{310}(x)-g_{10}(x)$ 作为 $g(x)-g_{10}(x),$ 的一个令人满意的近似，每个 $x$ 都用超过 $300$ 位三进制（即以 3 为底）数字来指定，以便计算 $\cos(3^{310}\cdot 2\pi x).$

和以前一样，红线和蓝线是给定函数 $g(x)-g_{10}(x)$ （通过 $g_{15}(x)-g_{10}(x)$ ）的边界，而这些曲线上的点是特殊值。令人惊讶的是：所有 $37\,500$ 个随机点都远离这些边界！通常 $50$ 个点就足以获得函数最大值的满意图片。但对于这个怪物， $37\,500$ 个点太少了。

通常，对于间断三角级数的和，即使是近似地，例如，相对误差小于 10%，也很难找到它的最大值和最小值（在给定区间内）。我们选择频率 $\lambda _{n}=3^{n},$ 与我们使用余弦而不是正弦相一致，使我们能够找到和的异常高值。为了充分理解这种好运，试着最大化如下函数 $\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\sin(3^{n}\cdot 2\pi x),$ 或最小化 $\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(4^{n}\cdot 2\pi x),$ ，你会意识到为什么魏尔斯特拉斯更喜欢余弦函数和形式为 $b^{n}$ 的频率，其中 $b$ 是一个正奇数。常用的数值优化方法失效，因为局部极值点很多且非常尖锐。由于连续性，怪兽函数在其最大化点的某个邻域内接近其最大值，但这个邻域非常小；随机点几乎没有机会进入这样的邻域。绝大多数值远非极值。

为了研究尾部 $g(x)-g_{10}(x)$ 在其周期上的值分布，可以取 $37\,500$ 个值 $y$ 在周期的第一个象限（上面使用），以及 $37\,500$ 个相反数 $(-y)$ （这些是第二象限的值），将所有这些 $75\,000$ 个数字按升序排序，并将结果视为新函数在等间距点上的值。这是结果的绘图，参见红色曲线。这是对所谓的给定函数的单调（递增）重排的数值近似。

值得注意的是，结果非常接近著名的正态分布 ${\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ ，红色曲线非常接近相应的分位数函数 $\sigma \Phi ^{-1}(p)$ （由黑点表示）。

正态分布在维基百科。

正态分布#分位数函数在维基百科。

(这里 $\textstyle \sigma ^{2}=\int _{0}^{1}{\big (}g_{310}(x)-g_{10}(x){\big )}^{2}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=11}^{310}{\big (}{\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}{\big )}^{2}\approx 0.00981^{2}.$ ) 奇妙的是，该函数本身很复杂，但其单调重排却很简洁。为什么会出现这种情况？

给定的函数是由许多项（形式为 $\textstyle {\tfrac {1}{(n+1)(n+2)}}\cos(3^{n}\cdot 2\pi x)$ ) 构成；而 *“中心极限定理指出，在一定（相当普遍的）条件下，许多随机变量的和将近似服从正态分布。”*

正态分布#中心极限定理在维基百科。

从均匀分布中随机选取一个点 $x\in [0,1]$ ，我们可以将这些项视为随机变量。但是，条件之一是独立性；而我们的这些项是相关的，而且是函数相关的，因为 $\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta .$ （更一般地说， $\cos n\theta =T_{n}(\cos \theta ),$ $T_{n}$ 是切比雪夫多项式。）然而，对间断三角级数的概率方法仍然存在，并能带来成果；特别是，正态分布在这种情况下出现是一个众所周知的现象。

中心极限定理#间断三角级数在维基百科。
Freddy Delbaen 和 Emma Hovhannisyan，间断级数的精确极限定理，电子预印本，2018 年。

但显然，正态逼近在某个地方必须失效，因为我们的函数是有界的（以 $1/12$ 为界），而正态随机变量不是。

中心极限定理名称中的“中心”有两种解释：（1）在概率论中具有核心重要性；（2）描述分布的中心，而不是其尾部，也就是说，描述的是大偏差。

中心极限定理#历史在维基百科上。

大偏差理论在维基百科上。

在正态分布中，高于 ${\text{mean}}+3\sigma$ 的偏差出现的概率为 $\approx 0.0013;$ 因此，对于 $0<x<1,$ 不等式 $g(x)-g_{10}(x)>3\sigma$ 在总长度为 $\approx 0.0013,$ 的区间上成立，大小为 $75\,000$ 的随机样本应该包含大约 $0.0013\times 75\,000\approx 100$ 个这样的值。这在前面的图片中是看不出来的，但在放大的图片中就很明显了。

对于 $4\sigma$ ，正态概率仅为 $\approx 0.000032,$ 且 $0.000032\times 75\,000$ 仅为 $\approx 2.4;$ 为了观察 $4\sigma$ 和 $5\sigma$ 情况，我们需要更大的样本量和对数刻度。这最后一张图片展示了一个大小为 $10^{8}=100\,000\,000$ 的样本（这需要计算机几个小时来完成）。我们看到，分布在 $4\sigma$ 附近接近正态分布，但在 $5\sigma .$ 偏离正态分布。希望，近似正态性遵循一些适用于 $4\sigma ,$ 的中等偏差理论，而偏离正态性遵循一些适用于 $5\sigma$ 及更远位置的大偏差理论；但目前，尽管在间隙级数的概率方法方面取得了进展，但这样的理论还没有出现，图片中大红色问号附近的情况仍然未知。自然可以猜测，在这个区域， $t\sigma$ 偏差的概率小于其正态近似值，因此，小于 $\exp(-t^{2}/2).$

假设这个猜想是正确的，并考虑到 $0.9\cdot {\tfrac {1}{12}}>7.6\sigma$ 且 $\exp(-7.6^{2}/2)<3\cdot 10^{-13},$ 我们得出结论，函数 $g(x)-g_{10}(x)$ 超过其最大值的 $90\%$ ，在总长度小于（可能远小于） $3\cdot 10^{-13}.$ 的区间上。

但是，同样，这个怪物并不是最糟糕的。为了得到一个更加可怕的缺失三角级数，人们可以尝试频率 $\lambda _{n}$ 比 $3^{n},$ 增加得更快，或者系数比 $1/n^{2},$ 减少得更慢，或者两者兼而有之。出乎意料的是，或者说并不那么出乎意料的是，这些函数在分析上越可怕，在概率上就越容易处理。（在 Delbaen 和 Hovhannisyan 的论文中，请注意系数 $1/n^{\alpha }$ 对于 $\alpha <{\tfrac {1}{2}}$ 在备注 2.3 中；也请注意“大间隙”定理 1.4、2.15、2.16 对于 ${\tfrac {\lambda _{n+1}}{\lambda _{n}}}\to \infty .$ ）。这是由德布鲁因提出的一般现象的特殊情况，如下所示。

我们经常需要评估某个数字 [...] 使得直接方法几乎是不可行的 [...] 我们应该非常高兴拥有一个完全不同的方法 [...] 至少可以提供一些有用的信息。通常，这种新方法给出的结果（正如拉普拉斯所指出的）与其必要程度成正比。 [...]

N.G. 德布鲁因，分析中的渐近方法，北荷兰出版社，1958 年。参见第 1.1 节“什么是渐近线？”（第 1 页）。