数学/集合中的例子和反例

• 集合 在维基百科上。

没有成员的集合

• 空集 在维基百科上。

空集，用 $\emptyset$ （有时也写成 $\{\}$）表示，不包含任何成员。如果你觉得它奇怪且令人不安，想想数字零（表示为 0）；它曾经是一个奇怪且令人不安的想法，但现在已被普遍接受。$\emptyset$ 中成员的数量是 0。

空集是一个集合，而不是“没有集合”。类似地，一个空箱子是一个箱子，而不是“没有箱子”；而 0 是一个数字，而不是“没有数字”。将 0 代入函数 f 中，我们得到另一个数字 f(0)，通常不等于 0。例如，$\cos 0=1$。同样，$2^{0}=1.$ 后者有一个集合论对应关系，见下一项。

空集的幂集不是空的

• 幂集 在维基百科上。

任何集合 S 的幂集（或“幂集”）是 S 的所有子集的集合，包括空集和 S 本身。如果 $S=\emptyset ,$，那么它的幂集包含 $\emptyset$ 以及其他任何东西；它是 $\{\emptyset \},$ 也就是说，$\{\{\}\}.$ 类似地，一个只包含一个空箱子的箱子是一个非空箱子。这个幂集中元素的数量是 1。一般来说，如果 S 包含 n 个元素，那么它的幂集包含 $2^{n}$ 个元素。特别地，$2^{0}=1.$