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结合能和核质量

当一个粒子系统结合在一起时，你需要消耗一定的能量来将其分解，也就是将粒子分离。最简单的方法是用一个具有动能的运动粒子来撞击系统，就像我们可以用子弹或石头摧毁玻璃瓶一样。如果我们的子弹粒子运动太慢（即没有足够的动能），它就不能分解系统。另一方面，如果它的动能过高，系统不仅会被分解，而且分离的粒子会获得一些动能，即以一定的速度运动。能量有一个中间值，正好足以摧毁系统而不会给它的碎片任何速度。这个分解一个结合系统所需的最小能量被称为这个系统的结合能。它通常用字母 $B$ 表示。

核能单位

能量的标准单位焦耳对于测量单个原子核相关的能量来说太大。这就是为什么在核物理中使用一个更小的单位，称为兆电子伏特 (MeV) 更方便。这是一个电子经过两个带电板之间的电位差（电压）为一百万伏特后获得的能量。听起来很大，不是吗？但是看看这个关系

$1\,{\rm {MeV}}=1.602\times 10^{-19}\,{\rm {J}}$

然后再次思考。在 MeV 的单位下，核世界中的大多数能量可以用只有小数点前几位数字，并且没有十的次方的东西来表示。例如，质子和中子的结合能（这是最简单的核系统，被称为氘核）是

$B_{pn}=2.225\,{\rm {MeV}}\ .$

数字的简单性并不是使用 MeV 单位的唯一优势。另一个更重要的优势来自核物理中大多数实验都是碰撞实验，其中粒子被电场加速并与其他粒子发生碰撞。例如，从上面的 $B_{pn}$ 值，我们立即知道为了分解氘核，我们需要用加速电压不低于 2.225 兆伏特的电子束轰击它们。不需要计算！另一方面，如果我们知道一个带电粒子（带单位电荷）通过一个电压，比如 5 兆伏特，我们就可以在没有任何计算的情况下说它获得了 5 MeV 的能量。它非常方便。不是吗？

质量亏损

将原子核的质量与构成它们的核子的质量进行比较，我们发现了一个令人惊讶的事实：核子的总质量大于核的质量！例如，对于氘核，我们有

$m_{d}<m_{p}+m_{n}\ ,$

其中 $m_{d}$ $m_{p}$，和 $m_{n}$ 分别是氘核、质子和中子的质量。这个差异相当小，

$(m_{p}+m_{n})-m_{d}=3.968\times 10^{-30}\,{\rm {kg}}\ ,$

但在原子核尺度上，这种差异就很明显了，比如质子的质量

$m_{p}=1672.623\times 10^{-30}\,{\rm {kg}}$

也非常小。这种现象被称为“质量亏损”。当核子结合时，质量消失到哪里去了？为了回答这个问题，我们注意到束缚态的能量低于自由粒子的能量。事实上，要将它们从束缚的复合体中释放出来，我们必须给予它们一些能量。反过来思考，我们可以得出结论，当形成束缚态时，粒子必须释放掉多余的能量，这与结合能完全相同。这一点在实验中得到了验证：当质子俘获中子形成氘核时，2.225 MeV 的多余能量通过电磁辐射释放出来。从以上分析中可以得出一个合乎逻辑的结论：当质子和中子结合时，它们的一部分质量会消失，消失的质量会转化为被辐射带走的能量。反之，当我们分解氘核时，我们给予它能量，其中一部分能量用来弥补消失的质量。阿尔伯特·爱因斯坦早在发现任何实验证据之前就提出了质量和能量等价的概念。在他的相对论中，他表明，一个质量为 $m$ 的运动物体的总能量 $E$ 为

${\begin{matrix}E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\ ,\end{matrix}}$

(15.1)

其中 $v$ 是它的速度，$c$ 是光速。将此方程应用于静止物体（$v=0$），我们可以得出结论，它具有静止 能量

${\begin{matrix}E_{0}=mc^{2}\end{matrix}}$

(15.2)

仅仅因为它有质量。正如你将看到的，这个公式正是制造核弹和核电站的基础！

在相对论出现之前，所有物理学和化学的发展都是基于这样的假设，即一个封闭系统的质量和能量在所有可能的过程中都是守恒的，并且它们是分别守恒的。实际上，事实证明守恒的是质能，

$E_{\rm {kin}}+E_{\rm {pot}}+E_{\rm {rad}}+mc^{2}={\rm {const}}\ ,$

即动能、势能、辐射能和系统质量的总和。在化学反应中，质量转化为其他形式能量（反之亦然）的比例非常小，以至于即使在最精确的测量中也无法检测到。然而，在核过程中，能量释放往往高出数百万倍，因此是可以观察到的。你不应该认为质量和能量的相互转化只是核过程和原子过程的特征。例如，如果你将一块橡皮或口香糖分成两部分，那么这两部分的质量之和将略大于整块的质量。当然，我们无法用我们的天平检测到这种质量亏损。但我们可以用爱因斯坦公式（15.1）计算它。为此，我们需要用某种方法测量分解整块所需的机械功W（即提供给它的能量）。这可以通过测量断裂过程中的力和位移来实现。然后，根据方程 (15.2)，质量亏损为

$\Delta m={\frac {W}{c^{2}}}$

为了估算可能的影响，假设我们需要将一块橡皮筋拉伸 10 厘米才会断裂，而平均所需的力为 10 牛顿（约 1 千克）。 那么

$W=10\,{\rm {N}}\times 0.1\,{\rm {m}}=1\,{\rm {J}}$,

因此

$\Delta m={\frac {1\,{\rm {J}}}{(299792458\,{\rm {m/s}})^{2}}}\approx 1.1\times 10^{-17}\,{\rm {kg}}$.

这是一个非常小的值，无法用天平测量，但与原子核的典型质量相比却很大。

核质量

显然，单个原子核无法放在天平上测量其质量。那么如何测量核质量呢？这是通过使用称为*质谱仪*的设备来完成的。 在质谱仪中，加速到一定能量的相同原子核的通量被引导到屏幕上，在屏幕上形成可见标记。 在撞击屏幕之前，该通量穿过与原子核速度垂直的磁场。 因此，通量被偏转到一定角度。 质量越大，角度越小（由于惯性）。 因此，测量标记从屏幕中心移动的距离，我们就可以找到偏转角，然后计算质量。 由于质量和能量是等价的，所以在核物理学中，通常用能量单位，即 MeV，来测量所有粒子的质量。 表 15.1 给出了亚原子粒子的质量示例。

表：15.1 电子、核子和一些原子核的质量。

粒子	质子数	中子数	质量 (MeV)
$e$	0	0	0.511
$p$	1	0	938.272
$n$	0	1	939.566
${}_{1}^{2}$H	1	1	1875.613
${}_{1}^{3}$H	1	2	2808.920
${}_{2}^{3}$He	2	1	2808.391
${}_{2}^{4}$He	2	2	3727.378
${}_{3}^{7}$Li	3	4	6533.832
${}_{4}^{9}$Be	4	5	8392.748
${}_{6}^{12}$C	6	6	11174.860
${}_{8}^{16}$O	8	6	14895.077
${}_{92}^{238}$U	92	146	221695.831

表中给出的值是通过爱因斯坦公式 15.1 将核质量转换为的能量。

使用 MeV 作为粒子质量单位有几个优点。首先，与核能一样，我们可以避免处理涉及十的某个次方的非常小的数字。例如，如果我们用 kg 测量质量，电子的质量将是 $m_{e}=9.1093897\times 10^{-31}$ kg。当质量以等效能量单位表示时，计算质量亏损非常容易。事实上，将表 15.1 中第二行和第三行给出的质子和中子的质量加起来，然后减去 ${}_{1}^{2}$H 的质量，我们可以直接得到氘核的结合能 2.225 MeV。另一个优势来自粒子物理学。在高速运动粒子的碰撞中，新的粒子（如电子）可以从真空中产生，即动能直接转化为质量。如果质量以能量单位表示，我们就可以知道产生这个或那个粒子需要多少能量，而无需进行计算。