著名数学定理/π 是无理数

数学常数 $\pi =3.141592\ldots$ （圆周长与直径之比）是一个无理数。

换句话说，它不能表示为两个整数的比率。

证明

让我们假设 $\pi$ 是有理数，所以存在 $a,b\in \mathbb {N}$ 使得 $\pi ={\frac {a}{b}}$。

对于所有 $n\in \mathbb {N}$ 让我们定义一个多项式

$f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}=\sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {c_{m}}{n!}}x^{m},\quad :c_{m}\in \mathbb {Z}$

$f(x)=f(\pi -x)$ 所以我们得到

${\begin{aligned}f^{(k)}\!(x)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi -x)&={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle \sum _{m\,=\,k}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\\[5pt]f^{(k)}\!(0)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi )&={\begin{cases}0&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle {\frac {k!}{n!}}c_{k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\end{aligned}}$

现在我们定义 $A_{n}=\int \limits _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)dx$. 被积函数对所有 $x\in (0,\pi )$ 均为正，因此 $A_{n}>0$.

重复分部积分得到

$A_{n}=-f^{(0)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+f^{(1)}\!(x)\sin(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+f^{(2)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }-\cdots \pm f^{(2n)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }\mp \int \limits _{0}^{\pi }f^{(2n+1)}\!(x)\cos(x)dx$

剩余积分等于零，因为$f^{(2n+1)}\!(x)$ 是零多项式。

对于所有$0\leq k\leq 2n$，函数 $f^{(k)}\!(x),\sin(x),\cos(x)$ 在 $x=0,\pi$ 处取整数值，因此 $A_{n}$ 是一个正整数。

然而，对于所有$x\in (0,\pi )$，我们得到

${\begin{aligned}&0<x<\pi \\&0<a-bx<a\\&0<\sin(x)<1\end{aligned}}$

因此，$0<A_{n}<\pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}$。但对于足够大的 $n$，我们得到 $0<A_{n}<1$。矛盾。

因此，$\pi$ 是一个无理数。