数学著名定理/π是超越数/单项式排序

定义 1

令$(A_{1},\ldots ,A_{n})$为一个N元组。让我们定义

${\vec {A}}{}^{n}=(A_{1},\ldots ,A_{n})$

对于函数 ${\vec {F}}{}^{m},{\vec {G}}{}^{n}$让我们定义

${\vec {F}}{}^{m}({\vec {G}}{}^{n})={\bigl (}F_{1}(G_{1},\ldots ,G_{n}),\ldots ,F_{m}(G_{1},\ldots ,G_{n}){\bigr )}$

这种简化符号将在接下来的页面和证明中对我们非常有用。

定义 2

令$\mathbb {F}$为一个域。那么$\mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]$是变量$X_{1},\ldots ,X_{n}$的系数在$\mathbb {F}$中的多项式空间。

单项式 是一种形如 $c\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}$ 的多项式，其中 $c\in \mathbb {F}$ 且 $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {N}$。

定义 3

令 $X=X_{1}\cdots X_{n}$，并令 $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ 为一个指数向量。让我们定义

• $X^{a}=X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}$
• $\deg(X^{a})=a_{1}\!+\cdots +a_{n}$
• 非零多项式的次数等于其组成单项式次数中的最大值。

属性

单项式乘法保持指数向量加法

${\begin{aligned}X^{a}\!\cdot X^{b}&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}})\cdot (X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdot X_{1}^{b_{1}})\cdots (X_{n}^{a_{n}}\!\cdot X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=X_{1}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}+b_{n}}\\[5pt]&=X^{a+b}\end{aligned}}$

定义 4

令 $X^{a},X^{b}$ 为单项式。

我们说 $X^{a}$ **比** $X^{b}$ **阶数低**（并用 $X^{a}\!\prec X^{b}$ 表示），如果存在一个索引 $1\leq k\leq n$ 使得

${\begin{cases}a_{i}=b_{i}&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}<b_{i}&:i=k\end{cases}}$

换句话说，向量 $(a_{1},\ldots ,a_{n}),(b_{1},\ldots ,b_{n})$ 具有 字典序。

在多项式 $F$ 中，阶数最高的单项式称为 **首项式**，并用 ${\text{L}}(F)$ 表示。

示例

$x_{1}^{7}x_{2}^{3}x_{3}^{10}\!\prec x_{1}^{7}x_{2}^{31}x_{3}\iff (7,3,10)\prec (7,31,1)$

引理

令 $F,G\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]$ 为多项式。 那么 ${\text{L}}(F\cdot G)={\text{L}}(F)\cdot {\text{L}}(G)$.

证明

令 $X^{a},X^{b},X^{f},X^{g}$ 为单项式，其中 $X^{f}={\text{L}}(F),\,X^{g}={\text{L}}(G)$.

1. 假设 $X^{a}\!\prec X^{f}$。我们将证明对所有 $X^{c}$ 有 $X^{a+c}\!\prec X^{f+c}$ 成立。
根据定义，存在一个索引 $1\leq k\leq n$ 使得

${\begin{cases}a_{i}(+\,c_{i})=f_{i}(+\,c_{i})&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}(+\,c_{i})<f_{i}(+\,c_{i})&:i=k\end{cases}}$

2. 我们还假设 $X^{b}\!\prec X^{g}$。我们将证明 $X^{a+b}\!\prec X^{f+g}$ 成立。
根据定义，存在索引 $k_{1},k_{2}\in \{1,\ldots ,n\}$ 使得分别

${\begin{aligned}&{\begin{cases}a_{i}=f_{i}&:\!1\leq i\leq k_{1}-1\\[3pt]a_{i}<f_{i}&:i=k_{1}\end{cases}},\quad {\begin{cases}b_{i}=g_{i}&:\!1\leq i\leq k_{2}-1\\[3pt]b_{i}<g_{i}&:i=k_{2}\end{cases}}\\[8pt]&{\begin{cases}1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq n\!:&(a_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!)\land (b_{k_{1}}\!\leq g_{k_{1}}\!)\,\implies \,a_{k_{1}}\!+b_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!+g_{k_{1}}\\[5pt]1\leq k_{2}<k_{1}\leq n\!:&(a_{k_{2}}\!=f_{k_{2}}\!)\land (b_{k_{2}}\!<g_{k_{2}}\!)\,\implies \,a_{k_{2}}\!+b_{k_{2}}\!<f_{k_{2}}\!+g_{k_{2}}\end{cases}}\!{\Bigg \}}\,\implies \,X^{a+b}\!\prec X^{f+g}\end{aligned}}$

因此

${\text{L}}(F\cdot G)=X^{f+g}=X^{f}\cdot X^{g}={\text{L}}(F)\cdot {\text{L}}(G)$

$\square$

定义 5

令 $F\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]$ 为一个多项式。我们定义

${\text{D}}(F)={\Big \{}X^{a}\!\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]:\deg(X^{a})\leq \deg({\text{L}}(F)),X^{a}\!\prec {\text{L}}(F){\Big \}}$

也就是说，所有度数小于等于 $\leq \deg({\text{L}}(F))$ 的 首一单项式 的集合，这些单项式都比 ${\text{L}}(F)$ 阶数低。

示例

${\begin{aligned}&F(x_{1},x_{2})=4+3x_{1}+2x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{4}\\[3pt]&{\text{L}}(F)=2x_{1}^{2}x_{2}\\[3pt]&{\text{D}}(F)={\Big \{}x_{1}x_{2}^{2},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2},x_{1},x_{2},1{\Big \}}\end{aligned}}$

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