著名数学定理/√2 是无理数

2 的平方根是无理数，${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$

证明

假设为了反证，${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$。因此，${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ 对于某些互质的 *a* 和 *b* 成立。

这意味着 $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$。改写得到 $2b^{2}=a^{2}\!\,$。

由于等式左侧能被 2 整除，因此右侧也必须能被 2 整除，即 $2|a^{2}$。由于 2 是素数，我们必须有 $2|a$。

因此，我们可以用 $2A$ 代替 *a*，我们有 $2b^{2}=4A^{2}\!\,$。

两边除以 2 得 $b^{2}=2A^{2}\!\,$，使用与上述类似的论证，我们得出结论 $2|b$。然而，我们假设了 ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$，使得 *a* 和 *b* 互质，现在我们发现 $2|a$ 且 $2|b$；矛盾。

因此，假设是错误的，${\sqrt {2}}$ 不能写成有理数。因此，它是无理数。

另一种证明

以下归谬法论证鲜为人知。它使用了附加信息 √2 > 1。

1. 假设 √2 是一个有理数。这意味着存在整数 *m* 和 *n*，其中 *n* ≠ 0，使得 *m*/ *n* = √2。
2. 那么 √2 也可以写成一个不可约分数 *m*/ *n*，其中 *n* 是一个*正*整数，因为 √2 > 0。
3. 那么${\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {2}}\cdot n({\sqrt {2}}-1)}{n({\sqrt {2}}-1)}}={\frac {2n-{\sqrt {2}}n}{{\sqrt {2}}n-n}}={\frac {2n-m}{m-n}}$，因为${\sqrt {2}}n=m$。
4. 由于 √2 > 1，因此得出 m > n，进而得出 m > 2n – m。
5. 因此，根据 (2)，√2 的分数 m/n 已经是最低项，但 (3) 用更低的项表示了它。这是一个矛盾，因此 √2 是有理数的假设必须是错误的。

类似地，假设一个等腰直角三角形，其直角边和斜边分别具有整数长度 n 和 m。根据勾股定理，比例 m/n 等于 √2。可以使用经典的圆规和直尺构造一个更小的等腰直角三角形，其直角边和斜边分别具有长度 m − n 和 2n − m。这个构造证明了 √2 的无理性，使用的是古代希腊几何学家所采用的方法。

历史注释

对该证明的首次提及声称其作者是毕达哥拉斯学派的希腊数学家，事实上，欧几里得在《几何原本》中首次给出了形式证明。然而，大多数同时代人（以及当今许多数学史学家）认为，毕达哥拉斯人自己几乎是从埃及来源借鉴了所有的数学（包括这个证明）。可惜的是，亚历山大图书馆的毁灭消灭了当时几乎所有现存的该文明的科学文本，因此这很可能永远成为一个谜。

注释

• 作为推广，可以证明所有素数的平方根都是无理数。
• 另一种证明相同结果的方法是证明$x^{2}-2$ 是使用艾森斯坦判据的有理数域中的不可约多项式。