数学/分析/度量空间著名定理

度量空间是一个元组 (M,d)，其中 M 是一个集合，d 是 M 上的度量，即一个函数

$d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

使得

1. d(x, y) ≥ 0     (非负性)
2. d(x, y) = 0   当且仅当   x = y     (不可区分同一性)
3. d(x, y) = d(y, x)     (对称性)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (三角不等式).

函数 d 也称为距离函数或简称为距离。如果从上下文可以清楚地知道使用的是哪个度量，通常会省略 d，而只用 M 来表示度量空间。

基本定义

令 X 为一个度量空间。所有点和集合都是 X 的元素和子集。

1. 一个点 p 的邻域是一个集合 $N_{r}(p)$，它包含所有满足 d(p,q) < r 的点 q。数字 r 称为 $N_{r}(p)$ 的半径。如果度量空间是 $R^{k}$（这里度量被认为是欧几里得度量），那么 $N_{r}(p)$被称为以中心 p 和半径 r 的开球。闭球定义为 d(p,q) $\leq$ r。
2. 如果 p 的每个邻域都包含一个点 q$\neq$p 且 q $\in$ E，则称点 p 是集合 E 的极限点。
3. 如果 p $\in$ E 且 p 不是 E 的极限点，则称 p 是 E 的孤立点。
4. 如果 E 的每个极限点都是 E 的点，则 E 是闭的。
5. 如果存在 p 的邻域 N 使得 N $\subset$ E，则称点 p 是 E 的内部点。
6. 如果 E 的每个点都是 E 的内部点，则 E 是开的。
7. 如果 E 是闭的，且 E 的每个点都是 E 的极限点，则 E 是完美的。
8. 如果存在一个实数 M 和一个点 q $\in$ X，使得对所有 p $\in$ E 都有 d(p,q) < M，则 E 是有界的。
9. 如果 X 的每个点都是 E 的极限点或 E 的点（或两者都是），则 E 在 X 中是稠密的。

基本证明

1. 每个邻域都是一个开集

证明：考虑一个邻域 N = $N_{r}(p)$。现在如果 q $\in$ N，那么由于 d(p,q) < r，我们有 h = r - d(p,q) > 0。考虑 s $\in$ $N_{h}(q)$。现在 d(p,s) $\leq$ d(p,q) + d(q,s) < r - h + h = r，因此 $N_{h}(q)$ $\subset$ N。因此 q 是 N 的内部点。

2. 如果 p 是集合 E 的极限点，那么 p 的每个邻域都包含 E 的无限多个点。

证明：假设 p 的一个邻域 N 只包含 E 的有限个点。令 r 为这些点到 p 的距离的最小值。有限个正数的最小值显然是正数，因此 r > 0。邻域 $N_{r}(p)$ 不包含 E 中的任何点 q，使得 q $\neq$ p，这与 p 是 E 的极限点的事实相矛盾。

3. 有限集没有极限点

证明：这从证明 2 中显而易见。

4. 一个集合是开的当且仅当它的补集是闭的。

证明：假设 E 是开的，x 是 $E^{c}$ 的一个极限点。我们需要证明 x $\in E^{c}$。现在 x 的每个邻域都包含 $E^{c}$ 的一个点，因此 x 不是 E 的内部点。由于 E 是开的，这意味着 x $\notin$ E，因此 x $\in E^{c}$。所以 $E^{c}$ 是闭的。

现在假设 $E^{c}$ 是闭合的。选择 x $\in$ E。则 x $\notin E^{c}$，因此 x 不是 $E^{c}$ 的极限点。因此，必须存在 x 的一个邻域完全位于 E 内部。所以 x 是 E 的一个内点，因此 E 是开集。

5. 一个集合是闭合的当且仅当它的补集是开集。

证明: 这从证明 4 中显而易见。