数学/应用数学著名定理

-div 是 d 的伴随算子

断言 −div 是 d 的伴随算子

\int _{M}df(X)\;\omega =-\int _{M}f\,\operatorname {div} X\;\omega

以上陈述的证明

\int _{M}(f\mathrm {div} (X)+X(f))\omega =\int _{M}(f{\mathcal {L}}_{X}+{\mathcal {L}}_{X}(f))\omega

=\int _{M}{\mathcal {L}}_{X}f\omega =\int _{M}\mathrm {d} \iota _{X}f\omega =\int _{\partial M}\iota _{X}f\omega

如果 f 具有紧支撑，则最后一个积分消失，我们就得到了想要的结果。

拉普拉斯-德拉姆算子

可以证明，拉普拉斯-德拉姆算子等价于拉普拉斯-贝尔特拉米算子的定义，当它作用于一个标量函数 f 时。这个证明如下：

\Delta f=\mathrm {d} \delta f+\delta \,\mathrm {d} f=\delta \,\mathrm {d} f=\delta \,\partial _{i}f\,\mathrm {d} x^{i}

=-*\mathrm {d} {*\partial _{i}f\,\mathrm {d} x^{i}}=-*\mathrm {d} (\varepsilon _{iJ}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f\,\mathrm {d} x^{J})

=-*\varepsilon _{iJ}\,\partial _{j}({\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f)\,\mathrm {d} x^{j}\,\mathrm {d} x^{J}=-*{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\,\partial _{i}({\sqrt {|g|}}\,\partial ^{i}f)\mathrm {vol} _{n}

=-{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\,\partial _{i}({\sqrt {|g|}}\,\partial ^{i}f),

其中 ω 是体积形式，ε 是完全反对称的 Levi-Civita 符号。请注意，在上面的公式中，斜体的小写索引 i 是单个索引，而大写罗马字母 J 代表所有剩余的 (n-1) 个索引。需要注意的是，拉普拉斯-德拉姆算子实际上是负的拉普拉斯-贝尔特拉米算子；这个负号来自于对余微分性质的常规定义。不幸的是，Δ 用于表示两者；读者要注意。