数学著名定理/布劳威尔不动点定理

布劳威尔不动点定理是一个重要的不动点定理，适用于有限维空间，并且是若干一般不动点定理的基础。它以荷兰数学家 L. E. J. 布劳威尔命名。

定理陈述

该定理指出，从闭单位球 Bⁿ 到自身的每个连续函数至少有一个不动点。在这个定理中，n 是任何正整数，闭单位球 Bⁿ 是欧几里得 n 空间Rⁿ 中所有距离原点至多为 1 的点的集合。函数 f : Bⁿ → Bⁿ 的不动点是 Bⁿ 中的点 x，使得 f(x) = x。

注释

本定理中的函数 f 不需要是双射的，甚至不需要是满射的。

由于所涉及的性质（连续性，是不动点）在同胚下是不变的，因此如果域不是闭单位球本身，而是与其同胚的某个集合（因此也是闭的、有界的、连通的、没有洞等的），则该定理同样适用。

如果针对开单位圆盘（距离原点严格小于 1 的点的集合）进行表述，则该定理的陈述是错误的。例如，考虑函数

$f(x,y)=\textstyle ({\frac {1}{2}}(x+{\sqrt {1-y^{2}}}),y)$

它将R² 中的开单位圆盘的每个点映射到给定点右侧的另一个点。

举例说明

该定理有几个“现实世界”的例子。例如：取两张大小相同的方格纸，并在上面绘制坐标系，将一张平铺在桌子上，并将另一张揉成一团（不撕裂或撕破），以任何方式放在第一张上面，使得揉皱的纸不会超出平铺的纸。那么，揉皱的纸上至少会有一点正好位于平铺的纸上对应的点（即具有相同坐标的点）的正上方。这是将布劳威尔定理的n = 2 情形应用于连续映射的结果，该映射将揉皱的纸上每个点的坐标分配给其正下方平铺的纸上的点的坐标。

在三维空间中，布劳威尔不动点定理的结果是，无论你在玻璃杯中如何搅拌或摇晃鸡尾酒，液体中的某个点都会保持在与你采取任何行动之前完全相同的位置，假设每个点的最终位置是其初始位置的连续函数，并且搅拌或摇晃后的液体包含在其最初占据的空间内。

n = 3 情形的另一个结果是，例如，机场航站楼中地图的信息显示。将航站楼中的点映射到地图上其图像的函数是连续的，因此具有不动点，通常用十字或箭头以及文字您在此处表示。航站楼外的类似显示将违反函数“到自身”的条件，并且不具有不动点。对于此示例，不动点的存在也是巴拿赫不动点定理的结果，因为将空间中的点映射到显示屏的函数是压缩映射。

历史

布劳威尔不动点定理是代数拓扑学的早期成就之一，也是更一般的不动点定理的基础，这些定理在泛函分析中很重要。n = 3 的情况首先由 Piers Bohl 在 1904 年证明（发表在《纯粹与应用数学杂志》上）。后来由 L. E. J. 布劳威尔在 1909 年证明。雅克·阿达马尔在 1910 年证明了一般情况，布劳威尔在 1912 年找到了另一种证明。由于这些早期的证明都是非构造性的间接证明，因此与布劳威尔的直觉主义理想相悖。然而，现在已知保证布劳威尔定理的不动点（近似值）的构造方法；例如，参见 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

证明

假设存在一个从$f:B^{n}\to B^{n}$到$B^{n}$的映射，且该映射没有不动点。然后令$g(x)$为如下映射：从$f(x)$开始，画一条经过$x$的射线，然后令$g(x)$为该直线与球面的第一个交点。该映射是连续的，并且仅当$f$没有不动点时才定义良好。此外，不难看出它在边界球面上一定是恒等映射。因此，我们得到了一个映射$g:B^{n}\to S^{n-1}$，它在$S^{n-1}=\partial B^{n}$上是恒等映射，即一个收缩。现在，如果$i:S^{n-1}\to B^{n}$是包含映射，则$g\circ i=\mathrm {id} _{S^{n-1}}$。应用约化同调函子，我们发现$g_{*}\circ i_{*}=\mathrm {id} _{{\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})}$，其中$_{*}$表示在同调上的诱导映射。

但是，众所周知${\tilde {H}}_{n-1}(B^{n})=0$（因为$B^{n}$是可缩的），并且${\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})=\mathbb {Z}$。因此，我们得到了一个非零群到自身的同构，它通过一个平凡群进行分解，这显然是不可能的。因此，我们得到了一个矛盾，因此不存在这样的映射$f$。