著名数学定理/费马大定理
费马大定理是数论中关于以下陈述的名称：
- 不可能将任何高于二次的幂分解成两个同类幂，
或者更准确地说
- 如果整数 n 大于 2，那么方程 在非零整数 a、b 和 c 中没有解。
1637 年，皮埃尔·德·费马在他的《算术》副本的克劳德·加斯帕尔·巴舍翻译版本中写道：“我已经找到了这个命题的一个真正奇妙的证明，可惜这页边空白太窄了，写不下。”（原文拉丁语：“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”）
费马大定理与 n = 2 的类似问题相比，其表述引人注目，且证明起来困难得多。对于 n = 2，存在无穷多个称为毕达哥拉斯三元组的整数解（以及密切相关的毕达哥拉斯定理有许多基本证明）。该问题陈述可以被小学生理解的事实使其更加令人沮丧，并且它可能比数学史上任何其他问题都产生了更多不正确的证明。在 357 年间，没有找到正确的证明，直到安德鲁·怀尔斯于 1995 年最终发表了一个证明。术语“最后定理”的由来是因为费马提出的所有其他定理和结果最终都得到了证明或证伪，要么由他自己的证明，要么由其他数学家在提出的两个世纪后证明或证伪。虽然现在它已被证明成为一个定理，但在之前，尽管有这个名字，费马大定理的地位仍然是一个猜想，一个尚未确定其真实性（真或假）的数学陈述。
费马大定理是数学史上最著名的已解决问题，为所有数学家所熟知，并在证明之前已在流行文化中获得了知名度。费马大定理解决后所引发的媒体报道热潮是前所未有的，包括世界范围内的报纸报道以及书籍和 BBC 地平线节目（在美国作为 PBS 新星特别节目“证明”播出）中的各种普及。
费马大定理的一个特例，即 n = 3 的情况，最早由 10 世纪的阿布·马赫穆德·库詹迪提出，但他试图证明该定理的尝试是错误的。
费马大定理的第一个被证明的情况是由费马本人证明的，即 n = 4 的情况，使用无穷递降法。莱昂哈德·欧拉使用类似的方法证明了 n = 3 的情况；虽然他发表的证明中包含一些错误，但必要的断言可以通过欧拉本人在其他地方证明的工作来建立。虽然他最初的方法存在缺陷，但它产生了大量的关于该定理的研究。在接下来的几个世纪里，该定理被证明适用于许多其他特殊的指数 n（或指数类），但一般情况仍然难以捉摸。
n = 5 的情况由狄利克雷和勒让德于 1825 年证明，他们使用了欧拉对 n = 3 的证明的推广。下一个素数（证明定理对素数成立就足够了：见下文）n = 7 的证明在 15 年后由加布里埃尔·拉梅于 1839 年找到。不幸的是，这个证明很长，不太可能推广到更高的数字。从那时起，数学家们开始证明定理适用于指数类，而不是单个数字，并发展与定理相关的更一般性的结果。
这些一般性想法可以追溯到索菲·热尔曼引入的一种新方法。她并没有证明对于给定的 n 值不存在解，而是证明了如果存在解，则必须满足一个特定条件。这种洞察力已经在证明 n = 5 情况的费马大定理时被使用过了。1847 年，库默证明了定理对所有正则素数成立（包括 2 到 100 之间的素数，除了 37、59 和 67）。
1823 年和 1850 年，法国科学院为正确的证明颁发了一个奖项。这项举措只引发了一波数千次数学错误尝试。1883 年，布鲁塞尔科学院又颁发了第三个奖项。1908 年，德国实业家和业余数学家保罗·弗里德里希·沃尔夫斯凯尔将 100,000 马克遗赠给哥廷根科学院，作为对费马大定理的完整证明的奖励。因此，在 1908 年到 1911 年之间，出现了超过 1000 个不正确的证明。据数学史学家霍华德·埃夫斯说：
费马大定理有这样一种独特的区别：它是有史以来发表错误证明数量最多的数学问题。.
费马大定理的正确证明的历史始于 1960 年代后期，当时伊夫·埃莱戈阿奇提出了一个想法，即与费马方程的任何解 (a,b,c) 关联一个完全不同的数学对象：一个椭圆曲线。该曲线由平面中所有满足关系的点 (x,y) 组成：
这样的椭圆曲线将具有非常特殊的性质，这些性质是由于其方程中出现高次幂以及 也为p次幂而导致的。
格哈德·弗雷有一个洞察力，认为这样的曲线会非常特殊，以至于它会与关于椭圆曲线的某个猜想相矛盾，这个猜想现在被称为谷山-志村猜想。这个猜想说，每个具有有理系数的椭圆曲线都可以用一种完全不同的方式构造，不是通过给出它的方程，而是使用模函数来参数化曲线上点的坐标x和y。因此，根据这个猜想，任何在Q上的椭圆曲线都必须是模椭圆曲线，然而，如果费马方程有一个非零的a、b、c和大于2的p解，则对应的曲线将不是模曲线，从而导致矛盾。费马大定理和谷山-志村猜想之间的联系有点微妙：为了从后者推导出前者，需要知道更多信息，或者用数学家的话来说，“多一个ε”。这个额外信息是由让-皮埃尔·塞尔发现的，被称为ε猜想。塞尔的主要兴趣在于一个更雄心勃勃的猜想，即塞尔关于模伽罗瓦表示的猜想，它将暗示谷山-志村猜想。尽管在过去二三十年中积累了大量的证据来形成关于椭圆曲线的猜想，但相信这些各种猜想是正确的，其主要原因不在于数值确认，而在于它们呈现出的一个非常连贯和吸引人的数学图像。此外，也可能发生这些猜想中有一个或多个是错误的（例如，塞尔的猜想仍然是一个开放的问题），但费马大定理仍然是正确的。那只意味着需要不同的方法。
1986年夏天，肯·里贝特成功地证明了ε猜想。（他的文章发表在1990年。）他证明了，正如弗雷所预料的那样，谷山-志村猜想的特例（当时尚未被证明），加上现在已被证明的ε猜想，意味着费马大定理。因此，如果谷山-志村猜想对一类被称为半稳定椭圆曲线的椭圆曲线成立，那么费马大定理就成立。
在得知里贝特的工作后，安德鲁·怀尔斯开始证明每个半稳定椭圆曲线都是模曲线。他几乎完全秘密地进行这项工作，整整七年，几乎没有外部帮助。在1993年6月21日、22日和23日，怀尔斯在艾萨克·牛顿数学科学研究所发表了三场讲座，宣布他证明了谷山-志村猜想，从而证明了费马大定理。怀尔斯在证明中使用了多种方法，其中一些方法是专门为此而开发的。
尽管怀尔斯之前曾与普林斯顿的同事尼克·卡茨一起回顾了他的论证，但他很快发现证明中存在一个漏洞。证明的关键部分存在一个错误，该错误对特定群的阶数给出了一个界限。怀尔斯和他的前学生理查德·泰勒花了将近一年的时间试图修复这个证明，并在媒体和数学界的密切关注下进行。1994年9月，他们能够通过在论证的麻烦部分使用一种全新的方法来完成证明。泰勒和其他人继续证明了谷山-志村猜想的普遍形式，现在经常被称为模性定理，它适用于所有在Q上的椭圆曲线，而不仅仅是与费马大定理证明相关的半稳定曲线。
泰勒和怀尔斯的证明非常技术性，因为它依赖于20世纪发展起来的数学技术，其中大部分对一个世纪前研究过费马大定理的数学家来说是完全陌生的。另一方面，费马声称的“奇妙证明”必须相当基本，因为当时的数学知识水平。事实上，大多数数学家和科学史学家怀疑费马对所有指数n的定理有有效的证明。
虽然怀尔斯的证明无疑是有效的，但历史学家得出结论，它与费马得出的证明并不相同，原因有几个。首先，谷山-志村猜想显然还没有被发现，模形式和椭圆曲线之间的联系还没有被注意到。虽然费马写道“我发现了一个这个定理的真正奇妙证明，但这里空白太小写不下”，但它不可能像怀尔斯的证明那样长，因为怀尔斯的证明有数百页。
要理解这个证明，所需的大量背景资料仍然无法免费获得。这个定理的证明，有一些持续的漏洞，可以在此处找到[1].
