数学著名定理/洛必达法则

考虑以下极限

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

无法直接求值，即 f(a) = g(a) = 0 或

$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=\infty$

洛必达法则指出

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

假设两者都等于零。牛顿微分的定义是

$f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

因此

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}$

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}={\frac {f(a)}{g(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}$

现在假设 $f$ 和 $g$ 都发散到正负无穷大。微分的另一种定义是

$f'(a)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+a)}{x}}$

那么

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {xf(x+a)}{xg(x+a)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+a)}{g(x+a)}}={\frac {f(x+a)}{g(x+a)}}$

证毕