数学著名定理/证明风格

这是一个关于如何设计证明的示例。另一个示例是用于定义和公理。

2 的平方根的无理数性

这个结果使用了以下内容

2 的平方根是无理数， ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$

这是一个反证法，所以我们假设 ${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$ 因此 ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ 对于一些互素的 a, b。

这意味着 $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ 。重写这个得到 $2b^{2}=a^{2}\!\,$ .

由于 $b^{2}\in \mathbb {Z}$ ，我们有 $2|a^{2}$ 。由于 2 是素数，2 必须是 $a^{2}$ 的素因数之一，它们也是 $a$ 的素因数，因此， $2|a$ .

所以我们可以用 $2k,k\in \mathbb {Z}$ 替换 a，我们有 $2b^{2}=4k^{2}\!\,$ .

将等式两边同时除以2，得到 $b^{2}=2k^{2}\!\,$ 。运用与上述类似的论证，我们可以得出结论： $2|b$ 。

这里我们遇到了矛盾：我们假设a和b互质，但我们发现 $2|a$ 以及 $2|b$ 。

因此，我们的假设是错误的， ${\sqrt {2}}$ 不能表示成有理数。因此，它是无理数。