数学著名定理/勾股定理

勾股定理或毕达哥拉斯定理，以希腊数学家毕达哥拉斯命名，指出

在任何直角三角形中，斜边（与直角相对的边）为边的正方形的面积等于两条直角边（在直角处相交的两条边）为边的正方形的面积之和。

这通常总结如下

直角三角形的斜边平方等于另外两边平方和.

如果我们用 c 表示斜边的长度，用 a 和 b 表示另外两边的长度，则定理可以用以下方程表示

a^{2}+b^{2}=c^{2}\,

或，对 c 求解

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,

如果已经给出 a，并且必须找到一条直角边的长度，则可以使用以下方程（以下方程只是原始方程的逆定理）

c^{2}-a^{2}=b^{2}\,

或

c^{2}-b^{2}=a^{2}.\,

这个方程提供了直角三角形三边之间的一个简单关系，因此如果已知两边的长度，就可以找到第三边的长度。这个定理的推广是余弦定理，它允许计算任何三角形第三边的长度，只要知道两边的长度和它们之间的角度。如果两边之间的角度是直角，它就简化为勾股定理。

历史

定理的历史可以分为四个部分：对勾股数的了解、对直角三角形边之间关系的了解、对相邻角之间关系的了解以及对定理的证明。

大约公元前 2500 年的埃及和北欧的巨石纪念碑包含了具有整数边的直角三角形。巴特尔·林德特·范·德·瓦尔登推测这些勾股数是代数发现的。

公元前 2000 年到 1786 年之间写成的埃及中王国纸草书《柏林 6619》中包含一个问题的解是勾股数。

在汉谟拉比大帝统治期间，美索不达米亚泥板《普林顿 322》，书写于公元前 1790 年到 1750 年之间，包含了许多与勾股数密切相关的条目。

《绳索经》（Baudhayana Sulba Sutra），其日期被各种说法认为是在公元前 8 世纪到公元前 2 世纪之间，在印度，它包含一个代数发现的勾股数列表，勾股定理的陈述以及等腰直角三角形勾股定理的几何证明。

《阿帕斯塔摩绳索经》（Apastamba Sulba Sutra）（约公元前 600 年）包含了对一般勾股定理的数值证明，使用面积计算。范·德·瓦尔登认为“它肯定是基于早期的传统”。根据阿尔伯特·伯克的说法，这是对定理的原始证明；他进一步推测毕达哥拉斯访问了印度的阿拉孔纳姆，并抄袭了它。

毕达哥拉斯，其日期通常被认为是公元前 569 年到 475 年，根据普罗克洛斯对欧几里得的注释，使用代数方法来构造勾股数。然而，普罗克洛斯生活在公元 410 年到 485 年之间。根据托马斯·L·希思爵士的说法，在毕达哥拉斯去世后的五个世纪里，没有人将定理归功于毕达哥拉斯。然而，当像普鲁塔克和西塞罗这样的作家将定理归功于毕达哥拉斯时，他们这样做的方式暗示了这一归因是众所周知的，并且没有争议。

大约公元前 400 年，根据普罗克洛斯的说法，柏拉图给出了一种寻找勾股数的方法，将代数和几何结合在一起。大约公元前 300 年，在欧几里得的《几何原本》中，给出了最古老的现存对定理的公理化证明。

中国文本《周髀算经》（周髀算经），写于公元前 500 年到公元 100 年之间的某个时间，给出了勾股定理的陈述——在中国它被称为“勾股定理”——适用于（3, 4, 5）三角形。一个视觉证明记录在一个明代文本中，尽管不清楚它最初是在什么时候提供的。在汉朝，公元前 202 年到公元 220 年，勾股数出现在《九章算术》中，并提到了直角三角形。

第一次有记录的使用是在中国，被称为“勾股定理”，在印度被称为婆什迦罗定理。

关于勾股定理是发现一次还是多次，存在很多争议。博耶（1991）认为在《绳索经》中发现的元素可能是美索不达米亚起源的。

证明

这是一个可能比其他任何定理都拥有更多已知证明的定理；伊莱沙·斯科特·卢米斯撰写的《毕达哥拉斯命题》一书中包含了 367 个证明。

使用相似三角形证明

与大多数勾股定理的证明一样，这种证明也是基于两个相似三角形的边比例性的。

令 ABC 表示一个直角三角形，直角位于 C，如图所示。我们从点 C 作垂线，并称其与边 AB 的交点为 H。新的三角形 ACH 与我们的三角形 ABC 相似，因为它们都有一个直角（根据垂线的定义），并且它们共享 A 处的角，这意味着第三个角在两个三角形中也将相同。通过类似的推理，三角形 CBH 也与 ABC 相似。相似性导致了两个比例…: 由于

BC=a,AC=b,{\text{ and }}AB=c,\!

所以

{\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\,

这些可以写成

a^{2}=c\times HB{\mbox{ and }}b^{2}=c\times AH.\,

将这两个等式相加，我们得到

a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!

换句话说，勾股定理

a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!

欧几里得的证明

在欧几里得《几何原本》第一卷第47题中，勾股定理的证明是通过以下论证进行的。设A、B、C是直角三角形的顶点，其中A为直角。从A点向斜边对面的边作垂线。这条线将斜边上的正方形分成两个矩形，每个矩形的面积与两条直角边上的两个正方形的面积相同。

为了正式证明，我们需要四个基本引理

如果两个三角形有两边分别相等，并且这两边所夹的角相等，那么这两个三角形全等。（边-角-边定理）
三角形的面积等于以它为底、高相同的平行四边形面积的一半。
任何正方形的面积等于它的两条边的乘积。
任何矩形的面积等于它相邻两边的乘积（从引理3得出）。

这个证明背后的直观想法是，顶部的正方形被变形为大小相同的平行四边形，然后旋转并变形为下方正方形的左右矩形，面积保持不变。

证明如下

设ACB是一个直角三角形，直角为CAB。
在BC、AB和CA的每条边上，分别画出正方形CBDE、BAGF和ACIH。
从A点画一条平行于BD和CE的直线。它将垂直地与BC和DE分别相交于K和L。
连接CF和AD，形成BCF和BDA两个三角形。

∠CAB和∠BAG都是直角；所以C、A和G共线。同样地，B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角；所以∠ABD等于∠FBC，因为它们都是直角和∠ABC的和。
由于AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须等于△FBC。
由于A点与K和L共线，所以矩形BDLK的面积是△ABD面积的两倍。
由于C点与A和G共线，所以正方形BAGF的面积是△FBC面积的两倍。
因此，矩形BDLK的面积必须与正方形BAGF的面积相同=AB²。
同样地，可以证明矩形CKLE的面积必须与正方形ACIH的面积相同=AC²。
将这两个结果相加，AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
由于BD = KL，BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
因此，AB² + AC² = BC²，因为CBDE是一个正方形。

这个证明出现在欧几里得《几何原本》中，是命题1.47的证明。

加菲尔德的证明

詹姆斯·A·加菲尔德（后来的美国总统）因一个新颖的代数证明[1]而闻名，该证明使用了包含两个三角形实例的梯形，该图形包含下方所示用四个三角形包围一个正方形的图形的一半。

相似性证明

从与上述欧几里得证明相同的图形中，我们可以看到三个相似的图形，每个图形都是“上面有一个三角形的正方形”。由于大三角形是由两个较小的三角形组成的，因此它的面积是两个较小三角形面积的和。通过相似性，三个正方形彼此之间的比例与三个三角形相同，因此，大正方形的面积也是两个较小正方形面积的和。

通过重新排列证明

通过重新排列的证明由插图和动画给出。在插图中，每个大正方形的面积是（a + b）²。在两者中，四个相同三角形的面积被移除。剩下的面积，a² + b²和c²，是相等的。证毕。

这个证明确实非常简单，但它不是基本的，因为它不完全依赖于欧几里得几何中最基本的公理和定理。特别是，虽然给出三角形和正方形面积的公式很容易，但证明正方形的面积是其各部分面积的和就不那么容易了。事实上，证明必要的性质比证明勾股定理本身以及巴拿赫-塔斯基悖论更难。实际上，这种困难影响了所有涉及面积的简单欧几里得证明；例如，推导出直角三角形的面积涉及到假设它等于底和高相同的矩形面积的一半。出于这个原因，几何学的公理化介绍通常采用另一种基于三角形相似性的证明（见上文）。

勾股定理的第三个图形说明（右边的黄色和蓝色）将边上的正方形的一部分放在斜边上的正方形中。相关的证明将表明重新定位的部分与原始部分相同，并且，由于相等的和相等，相应的面积相等。为了表明正方形是结果，必须证明新的边长等于c。请注意，为了使这个证明有效，必须提供一种方法来处理将小正方形切成越来越多的薄片，因为相应的边变得越来越小。^[1]

代数证明

该证明的代数变体由以下推理提供。查看插图，它是一个大的正方形，其角上有相同的直角三角形，每个三角形的面积由对应于长度为C的边的角度给出。

{\frac {1}{2}}AB.

每个三角形的A边角和B边角是互余角，因此中间蓝色区域的每个角都是直角，使该区域成为边长为C的正方形。该正方形的面积为C²。因此，所有东西的总面积由下式给出

4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.

但是，由于大正方形的边长为A + B，我们也可以将其面积计算为（A + B）²，它扩展为A² + 2AB + B²。

$A^{2}+2AB+B^{2}=4\left({\frac {1}{2}}AB\right)+C^{2}.\,\!$

(4 的分配)

A^{2}+2AB+B^{2}=2AB+C^{2}\,\!

(减去 2AB)

A^{2}+B^{2}=C^{2}\,\!

微分方程证明

可以通过研究以下图中边变化如何产生斜边变化来得到勾股定理，并运用一些微积分。

由于边a的变化，

{\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}

通过相似三角形和微分变化。所以

c\,dc=a\,da

在变量分离后。

它来自为边b的变化添加第二个项。

积分得到

c^{2}=a^{2}+\mathrm {constant} .\ \,\!

当a = 0 时，c = b，所以“常数”为b²。所以

c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,

正如可以看出，平方是由于变化与边之间的特定比例，而和是由于边变化的独立贡献，这在几何证明中并不明显。从给定的比例可以看出，边的变化与边成反比。微分方程表明该定理是由于相对变化造成的，它的推导几乎等同于计算线积分。

这些量da和dc分别是a和c的无穷小变化。但我们使用实数Δa和Δc，则它们的大小接近零时的比率极限为da/dc，即导数，也接近c/a，即三角形边长的比率，得出微分方程。

逆定理

定理的逆定理也是正确的

对于任何三个正数a、b和c，只要a² + b² = c²，就存在一个边长为a、b和c的三角形，并且每个这样的三角形在长度为a和b的边之间都有一个直角。

这个逆定理也出现在欧几里得的《几何原本》中。它可以用余弦定理或以下证明来证明

设ABC是一个三角形，它的每一边的长度分别为a、b和c，其中a² + b² = c²。我们需要证明a和b边之间的角度是直角。我们构造另一个三角形，在长度为a和b的边之间有一个直角。根据勾股定理，该三角形的斜边长度也为c。由于这两个三角形具有相同的边长a、b和c，因此它们是全等的，因此它们必须具有相同的角。因此，我们原始三角形中长度为a和b的边之间的角度是一个直角。

勾股定理逆定理的一个推论是确定三角形是直角、钝角还是锐角的一种简单方法，如下所示。其中 *c* 被选为三边中最长的边

如果 *a*² + *b*² = *c*²，则三角形为直角三角形。
如果 *a*² + *b*² > *c*²，则三角形为锐角三角形。
如果 *a*² + *b*² < *c*²，则三角形为钝角三角形。

定理的结果和应用

勾股数

勾股数是3个正数 *a*、*b* 和 *c*，满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。换句话说，勾股数表示一个直角三角形的边长，其中所有三边都是整数。来自北欧巨石纪念碑的证据表明，在文字发现之前就已经知道这样的勾股数。这样的勾股数通常写成（*a*， *b*， *c*）。一些众所周知的例子是（3， 4， 5）和（5， 12， 13）。

100 以内的原始勾股数列表

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

无理数的存在

勾股定理的一个结果是，可以构造无理数，例如 2 的平方根。两条边都等于一个单位的直角三角形的斜边长度为 2 的平方根。毕达哥拉斯人证明了 2 的平方根是无理数，尽管这个证明与他们所珍视的万物都是有理数的信念相冲突，但这个证明一直流传至今。据说，第一个证明 2 的平方根是无理数的希帕索斯因此被扔进了大海。