毕达哥拉斯三角恒等式是一个三角恒等式，它用三角函数表示毕达哥拉斯定理。它与角和公式一起是sin 和cos 函数之间的基本关系，所有其他关系都可以从此关系推导出来。
数学上，毕达哥拉斯恒等式指出
sin 2 x + cos 2 x = 1. ( 1 ) {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.\qquad \qquad (1)\!} (请注意，sin2 x 表示 (sin x )2 。)
可以识别出另外两个毕达哥拉斯三角恒等式。它们是如下推导的。
sin 2 x sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x 1 + cot 2 x = csc 2 x tan 2 x + 1 = sec 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}}+{\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}&={\frac {1}{\sin ^{2}x}}&\qquad {\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}+{\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\\1+\cot ^{2}x&=\csc ^{2}x&\tan ^{2}x+1&=\sec ^{2}x\end{aligned}}} 与 (1) 一样，它们在毕达哥拉斯定理的实例中也有简单的几何解释。
使用直角三角形边长来定义三角函数的基本“定义”，
sin x = o p p o s i t e h y p o t e n u s e {\displaystyle \sin x={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}} cos x = a d j a c e n t h y p o t e n u s e {\displaystyle \cos x={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}} 该定理可以通过对两者进行平方并相加得到；恒等式的左边然后变为
o p p o s i t e 2 + a d j a c e n t 2 h y p o t e n u s e 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {opposite} ^{2}+\mathrm {adjacent} ^{2}}{\mathrm {hypotenuse} ^{2}}}} 根据毕达哥拉斯定理，它等于 1。但是，请注意，此定义仅适用于 0 到 ½π 弧度（不含）之间的角度，因此该论点没有证明所有角度的恒等式。0 和 ½π 的值可以通过直接评估那些角度的 sin 和 cos 来轻松证明。
为了完成证明，必须使用三角对称性、移位和周期性的恒等式。根据周期性恒等式，如果公式对 -π < x ≤ π 成立，则它对所有实数 x 成立。接下来，我们证明 ½π < x ≤ π 的范围，为此，我们令 t = x - ½π ，t 现在将在 0 < x ≤ ½π 的范围内。然后，我们可以使用一些基本移位恒等式的平方版本（平方可以方便地消除负号）。
sin 2 x + cos 2 x ≡ sin 2 ( t + 1 2 π ) + cos 2 ( t + 1 2 π ) ≡ cos 2 t + sin 2 t ≡ 1. {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\equiv \sin ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)\equiv \cos ^{2}t+\sin ^{2}t\equiv 1.} 剩下的就是证明 −π < x < 0；这可以通过对对称性恒等式进行平方来完成，得到
sin 2 x ≡ sin 2 ( − x ) and cos 2 x ≡ cos 2 ( − x ) . {\displaystyle \sin ^{2}x\equiv \sin ^{2}(-x){\mbox{ and }}\cos ^{2}x\equiv \cos ^{2}(-x)\,.} 如果三角函数是根据单位圆定义的，证明是直接的：给定一个角 θ，在欧几里得平面中，以原点为中心的单位圆上存在一个唯一的点 P ，该点与 x 轴的夹角为 θ，cos θ ，sin θ 分别是 P 的 x 和 y 坐标。根据单位圆的定义，这些坐标的平方和为 1，因此得到了恒等式。
与勾股定理的关系在于，单位圆实际上是由方程定义的
x 2 + y 2 = 1 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,.} 由于 x 和 y 轴相互垂直，这个事实实际上等价于斜边长度为 1 的三角形的勾股定理（这又等价于通过应用相似三角形论证得到的完整勾股定理）。
三角函数也可以使用幂级数来定义，即（对于以弧度为单位测量的角 x ）
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}} cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}} 使用幂级数的正式乘法定律，我们得到
sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x\,} = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 ) ! ( − 1 ) j ( 2 j + 1 ) ! x ( 2 i + 1 ) + ( 2 j + 1 ) {\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}}
= ∑ n = 1 ∞ ( ∑ i = 0 n − 1 ( − 1 ) n − 1 ( 2 i + 1 ) ! ( 2 ( n − i − 1 ) + 1 ) ! ) x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}}
= ∑ n = 1 ∞ ( ∑ i = 0 n − 1 ( 2 n 2 i + 1 ) ) ( − 1 ) n − 1 ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n}}
cos 2 x {\displaystyle \cos ^{2}x\,} = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ ( − 1 ) i ( 2 i ) ! ( − 1 ) j ( 2 j ) ! x ( 2 i ) + ( 2 j ) {\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}}
= ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n ( − 1 ) n ( 2 i ) ! ( 2 ( n − i ) ) ! ) x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}}
= ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n ( 2 n 2 i ) ) ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
请注意，在 sin 2 {\displaystyle \sin ^{2}} n 必须至少为 1 ，而在 cos 2 {\displaystyle \cos ^{2}} 1 。它们的和中其余项是（去除公因数后）：
∑ i = 0 n ( 2 n 2 i ) − ∑ i = 0 n − 1 ( 2 n 2 i + 1 ) = ∑ j = 0 2 n ( − 1 ) j ( 2 n j ) = ( 1 − 1 ) 2 n = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0} 根据二项式定理。当以这种方式定义三角函数时，勾股定理与勾股恒等式没有密切的关系；相反，结合勾股定理，恒等式现在表明这些幂级数参数化了单位圆，我们在上一节中使用过。请注意，此定义实际上以严格的方式构建了sin 和cos 函数，并证明了它们是可微的，因此实际上它包含了前两个定义。
可以将 sin 和 cos 函数定义为微分方程的两个唯一解
y ″ + y = 0 {\displaystyle y''+y=0} 分别满足 y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle y(0)=0,y'(0)=1} y ( 0 ) = 1 , y ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=1,y'(0)=0}
z = sin 2 x + cos 2 x {\displaystyle z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x} 是常数并且等于 1。但是，对它进行微分并应用这两个事实，我们可以看到 z ′ = 0 {\displaystyle z'=0} z 是常数，并且 z ( 0 ) = 1 {\displaystyle z(0)=1}
这种形式的恒等式同样与勾股定理没有直接关系。
