数学名著定理/e 是无理数

欧拉数 *e* 的级数表示

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\!$

可以用来证明 *e* 是无理数。在 *e* 的许多表示中，这是指数函数 *e*^*y* 在 *y* = 1 处计算的泰勒级数。

证明概述

这是一个反证法。最初假定 *e* 是 *a*/ *b* 形式的有理数。然后我们分析了代表 *e* 的级数及其严格较小的第 *b* 个部分和之间的放大差异 *x*，它近似于极限值 *e*。通过选择放大因子为 *b*!，分数 *a*/ *b* 和第 *b* 个部分和变成了整数，因此 *x* 必须是正整数。然而，级数表示的快速收敛意味着放大的近似误差 *x* 仍然严格小于 1。从这个矛盾中，我们推断出 *e* 是无理数。

证明

假设 *e* 是一个有理数。那么存在正整数 *a* 和 *b* 使得 *e* = *a*/ *b*。

定义数字

$\ x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}\!$

为了看到 *x* 是一个整数，将 *e* = *a*/ *b* 代入这个定义得到

$x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$

第一项是一个整数，并且和中的每个分数都是一个整数，因为对于每一项，*n*≤*b*。因此，*x* 是一个整数。

现在我们证明 0 < *x* < 1。首先，将上面 *e* 的级数表示代入 *x* 的定义得到

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,.\!$

对于所有 *n* ≥ *b* + 1 的项，我们有上限估计

${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,\!$

对于每个 *n* ≥ *b* + 2，这甚至很严格。将求和的索引更改为 *k* = *n* – *b* 并使用无穷等比级数的公式，我们得到

$x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}\leq 1.$

由于 0 和 1 之间没有严格的整数，我们得到了矛盾，因此 *e* 必须是无理数。